103

Краткий ответ: \(\triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1\) по первому признаку равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними.

Доказательство по шагам

1. Рассмотрим большие треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). По условию: \[ AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1. \] Значит, \[ \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 \] по первому признаку. Поэтому соответствующие элементы равны: \[ BC=B_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1. \]

2. Точки \(P\) и \(P_1\) лежат на сторонах \(AB\) и \(A_1B_1\), поэтому \[ BP=AB-AP,\qquad B_1P_1=A_1B_1-A_1P_1. \] Так как \(AB=A_1B_1\) и \(AP=A_1P_1\), получаем: \[ BP=B_1P_1. \]

3. Луч \(BP\) совпадает с лучом \(BA\), поэтому \[ \angle PBC=\angle ABC. \] Аналогично \[ \angle P_1B_1C_1=\angle A_1B_1C_1. \] Следовательно, \[ \angle PBC=\angle P_1B_1C_1. \]

4. В треугольниках \(BPC\) и \(B_1P_1C_1\): \[ BP=B_1P_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad \angle PBC=\angle P_1B_1C_1. \] Значит, по первому признаку: \[ \triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1. \]

Что важно понять: сначала доказываем равенство «больших» треугольников и берём из него нужные равные стороны и углы. Затем «отрезаем» равные отрезки от равных сторон — и применяем признак равенства уже к маленьким треугольникам.