Реши задание на изображении

На фото несколько заданий — 3.69–3.80. Ниже решения всей страницы: сначала ответы, затем — как это получать.

3.69

а) Взаимно простые числа — натуральные числа, у которых НОД равен \(1\).
Примеры: \(8\) и \(9\); \(14\) и \(15\).
б) НОД взаимно простых чисел равен \(1\).
в) Если \(a\) делится на \(b\), то \(\operatorname{НОД}(a,b)=b\).

3.70

Делители \(45\):
\(1, 3, 5, 9, 15, 45\).

Делители \(60\):
\(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\).

Общие делители:
\[ 1, 3, 5, 15. \]

3.71

\[ \begin{aligned} &\text{а) } \operatorname{НОД}(30,36)=6;\\ &\text{б) } \operatorname{НОД}(50,45)=5;\\ &\text{в) } \operatorname{НОД}(42,48)=6;\\ &\text{г) } \operatorname{НОД}(120,150)=30;\\ &\text{д) } \operatorname{НОД}(124,93)=31;\\ &\text{е) } \operatorname{НОД}(46,69)=23. \end{aligned} \]

Например, \(124=4\cdot31\), \(93=3\cdot31\), поэтому общий множитель \(31\).

3.72

Здесь в каждой паре одно число делится на другое, поэтому НОД равен меньшему числу: \[ \begin{aligned} &\text{а) }24;\\ &\text{б) }31;\\ &\text{в) }11;\\ &\text{г) }32;\\ &\text{д) }15;\\ &\text{е) }21. \end{aligned} \]

3.73

\[ 12321=111\cdot111, \] поэтому \(12321\) делится на \(111\), значит: \[ \operatorname{НОД}(12321,111)=111. \]

3.74

\[ \begin{aligned} &\text{а) }7;\\ &\text{б) }13;\\ &\text{в) }8;\\ &\text{г) }16;\\ &\text{д) }9;\\ &\text{е) }11. \end{aligned} \]

3.75

Нужно показать, что в разложениях нет общих простых множителей.

а)
\[ 24=2^3\cdot3,\qquad 35=5\cdot7 \] общих множителей нет, значит \(\operatorname{НОД}=1\).

б)
\[ 56=2^3\cdot7,\qquad 99=3^2\cdot11 \] общих множителей нет.

в)
\[ 63=3^2\cdot7,\qquad 88=2^3\cdot11 \] общих множителей нет.

г)
\[ 12=2^2\cdot3,\qquad 25=5^2 \] общих множителей нет.

д)
\[ 32=2^5,\qquad 33=3\cdot11 \] общих множителей нет.

Во всех случаях числа взаимно простые.

3.76

\[ \begin{aligned} &\text{а) } \operatorname{НОД}(13,5)=1;\\ &\text{б) } \operatorname{НОД}(3,11)=1;\\ &\text{в) } \operatorname{НОД}(29,19)=1;\\ &\text{г) } \operatorname{НОД}(54,55)=1;\\ &\text{д) } \operatorname{НОД}(62,63)=1;\\ &\text{е) } \operatorname{НОД}(98,99)=1. \end{aligned} \]

В первых трёх парах — разные простые числа, в остальных — соседние числа.

3.77

Пусть \(p\) и \(q\) — различные простые числа.
У числа \(p\) делители только \(1\) и \(p\), у числа \(q\) — только \(1\) и \(q\).
Так как \(p\ne q\), общий делитель может быть только \(1\). Значит, \[ \operatorname{НОД}(p,q)=1. \]

Если же простые числа одинаковые, например \(p=p\), то НОД равен \(p\), а не \(1\).

3.78

Пусть соседние натуральные числа — это \(n\) и \(n+1\).
Если \(d\) делит оба числа, то \(d\) делит и их разность: \[ (n+1)-n=1. \] Значит, \(d=1\). Поэтому \[ \operatorname{НОД}(n,n+1)=1. \]

3.79

Например, подойдут пары: \[ (4,9),\quad (8,15),\quad (14,25),\quad (21,32),\quad (35,48). \] У каждой пары НОД равен \(1\).

3.80

\[ \begin{aligned} &\text{а) } \operatorname{НОД}(320,40)=40;\\ &\text{б) } \operatorname{НОД}(233,79)=1;\\ &\text{в) } \operatorname{НОД}(278,279)=1;\\ &\text{г) } \operatorname{НОД}(484,44)=44;\\ &\text{д) } \operatorname{НОД}(84,96)=12;\\ &\text{е) } \operatorname{НОД}(100,175)=25. \end{aligned} \]

Для б) можно применить алгоритм Евклида: \[ 233=2\cdot79+75, \] \[ 79=1\cdot75+4, \] \[ 75=18\cdot4+3, \] \[ 4=1\cdot3+1. \] Последний ненулевой остаток равен \(1\), значит НОД равен \(1\).

Главный принцип

Чтобы найти НОД, разложи числа на простые множители и перемножь общие множители в наименьших степенях.
Например: \[ 30=2\cdot3\cdot5,\qquad 36=2^2\cdot3^2, \] поэтому \[ \operatorname{НОД}(30,36)=2\cdot3=6. \]

Проверка: после деления обоих чисел на их НОД должны получиться взаимно простые числа. Например, \(42:6=7\), \(48:6=8\), а \(\operatorname{НОД}(7,8)=1\).