Реши номер 96 с объяснением
Краткий ответ
| Пункт | Функция | Область значений \(E(y)\) | Ограничена? |
|---|---|---|---|
| а) | \(y=\dfrac{16x}{x^2+1}\) | \([-8;\,8]\) | да |
| б) | \(y=\dfrac{x^2+1}{8x}\) | \(\left(-\infty;-\frac14\right]\cup\left[\frac14;+\infty\right)\) | нет |
| в) | \(y=\sqrt{16-x^2}\) | \([0;\,4]\) | да |
| г) | \(y=\sqrt{x^2-16}\) | \([0;+\infty)\) | нет, ограничена только снизу |
| д) | \(y=|x-6|-1\) | \([-1;+\infty)\) | нет, ограничена только снизу |
| е) | \(y=5-|x+3|\) | \((-\infty;\,5]\) | нет, ограничена только сверху |
Функция ограничена, если её значения не уходят ни в \(+\infty\), ни в \(-\infty\), то есть существует число \(C\), при котором \(|y|\le C\).
Подробное объяснение
а) \(y=\dfrac{16x}{x^2+1}\)
Знаменатель всегда положителен. Обозначим возможное значение функции через \(a\):
\[ a=\frac{16x}{x^2+1}. \]
После умножения:
\[ ax^2-16x+a=0. \]
Чтобы такое \(x\) существовало, уравнение должно иметь решения. Для \(a\ne0\) нужен неотрицательный дискриминант:
\[ D=256-4a^2\ge0, \]
\[ a^2\le64,\qquad |a|\le8. \]
Значение \(a=0\) тоже подходит: при \(x=0\) получаем \(y=0\).
Значит,
\[ E(y)=[-8;8]. \]
Функция ограничена, так как всегда \(|y|\le8\).
б) \(y=\dfrac{x^2+1}{8x}\)
Здесь \(x\ne0\). Пусть \(a\) — возможное значение:
\[ a=\frac{x^2+1}{8x}. \]
Умножим на \(8x\):
\[ x^2-8ax+1=0. \]
Это уравнение должно иметь действительные корни:
\[ D=64a^2-4\ge0, \]
\[ 64a^2\ge4, \]
\[ a^2\ge\frac1{16}, \qquad |a|\ge\frac14. \]
То есть
\[ E(y)=\left(-\infty;-\frac14\right]\cup\left[\frac14;+\infty\right). \]
Значения между \(-\frac14\) и \(\frac14\) функция не принимает. При этом функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
Проверка: при \(x=1\)
\[ y=\frac{2}{8}=\frac14, \]
а при \(x=-1\)
\[ y=-\frac14. \]
в) \(y=\sqrt{16-x^2}\)
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[ 16-x^2\ge0, \]
поэтому
\[ -4\le x\le4. \]
При таких \(x\):
\[ 0\le16-x^2\le16. \]
Корень не меняет порядок, значит:
\[ 0\le y\le4. \]
\[ E(y)=[0;4]. \]
Максимум \(y=4\) достигается при \(x=0\), минимум \(y=0\) — при \(x=\pm4\). Функция ограничена.
г) \(y=\sqrt{x^2-16}\)
Нужно:
\[ x^2-16\ge0, \]
то есть
\[ |x|\ge4. \]
При этом \(x^2-16\) может принимать любое неотрицательное значение:
\[ x^2-16\in[0;+\infty). \]
Значит,
\[ E(y)=[0;+\infty). \]
Минимум равен \(0\) при \(x=\pm4\), сверху значения не ограничены. Поэтому функция не ограничена, но ограничена снизу.
д) \(y=|x-6|-1\)
Модуль всегда неотрицателен:
\[ |x-6|\ge0. \]
Поэтому
\[ y\ge-1. \]
При этом \(|x-6|\) может быть сколь угодно большим, значит \(y\) может быть сколь угодно большим.
\[ E(y)=[-1;+\infty). \]
Минимум \(y=-1\) достигается при \(x=6\). Функция не ограничена сверху.
е) \(y=5-|x+3|\)
Так как
\[ |x+3|\ge0, \]
то
\[ 5-|x+3|\le5. \]
При удалении \(x\) от \(-3\) модуль растёт, поэтому \(y\) уходит в \(-\infty\).
\[ E(y)=(-\infty;5]. \]
Максимум \(y=5\) достигается при \(x=-3\). Функция не ограничена снизу.
Главный принцип
- Для дробно-рациональной функции удобно обозначить \(y=a\) и потребовать, чтобы уравнение относительно \(x\) имело решения.
- Для корня сначала находят область определения и оценивают подкоренное выражение.
- Для модуля используют \(|t|\ge0\).
- Функция ограничена только тогда, когда её область значений ограничена и сверху, и снизу.
