Реши задание на изображении

Краткие ответы:

1. а) \(4\); б) \(9\)
2. \(a^3\)
3. \(17{,}5\)
4. \(x=-\dfrac38\)
5. \(\dfrac{14}{45}\)
6. \(\dfrac{1}{1+\sqrt[4]{a}}\), где \(a\ge0,\ a\ne1\)
7. \(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}\), где \(x,y>0\)

1. Вычисления

а) \[ \sqrt[5]{16}=2^{4/5},\qquad 8^0=1,\qquad 4^4=(2^2)^4=2^8. \] Тогда \[ \frac{2^9\cdot 2^{4/5}}{2^8\cdot 2^{-1/5}} = 2^{\left(9+\frac45\right)-\left(8-\frac15\right)} = 2^2=4. \]

б) \[ 3\sqrt{81}=3\cdot9=27, \] \[ \sqrt[3]{27}=3, \] \[ \left(\sqrt[3]{3\sqrt{81}}\right)^2=3^2=9. \]

2. Упростить выражение

\[ \left(a^{1+\sqrt3}\right)^{\sqrt3}\cdot\frac1{a^{\sqrt3}} = a^{(1+\sqrt3)\sqrt3-\sqrt3}. \] Раскроем показатель: \[ (1+\sqrt3)\sqrt3-\sqrt3=\sqrt3+3-\sqrt3=3. \] Значит, \[ a^3. \]

3. Известно \(0{,}7^x=5\)

Нужно найти \(0{,}7^{2x+1}\): \[ 0{,}7^{2x+1}=0{,}7^{2x}\cdot0{,}7=(0{,}7^x)^2\cdot0{,}7. \] Подставляем: \[ 5^2\cdot0{,}7=25\cdot0{,}7=17{,}5. \]

4. Уравнение

\[ \sqrt[4]{27}=\left(\frac19\right)^x. \] Перейдём к основанию \(3\): \[ \sqrt[4]{27}=27^{1/4}=3^{3/4}, \] \[ \left(\frac19\right)^x=9^{-x}=3^{-2x}. \] Тогда \[ 3^{3/4}=3^{-2x}, \] \[ -2x=\frac34, \] \[ x=-\frac38. \]

Проверка: \[ \left(\frac19\right)^{-3/8}=9^{3/8}=3^{3/4}=\sqrt[4]{27}. \]

5. Записать \(0{,}3(1)\) в виде обыкновенной дроби

\(0{,}3(1)=0{,}31111\ldots\)

Обозначим \(x=0{,}3111\ldots\). Тогда \[ 10x=3{,}111\ldots, \] \[ 100x=31{,}111\ldots. \] Вычитаем: \[ 90x=28, \] \[ x=\frac{28}{90}=\frac{14}{45}. \]

6. Сократить дробь

\[ \frac{1-\sqrt[4]{a}}{1-\sqrt a}. \] Пусть \(t=\sqrt[4]{a}\). Тогда \(\sqrt a=t^2\), поэтому \[ 1-\sqrt a=1-t^2=(1-t)(1+t). \] Получаем: \[ \frac{1-t}{(1-t)(1+t)}=\frac1{1+t}. \] Возвращаемся к \(a\): \[ \frac{1}{1+\sqrt[4]{a}}. \] Условия: \(a\ge0,\ a\ne1\).

7. Упростить выражение

Читаем выражение так: \[ \left( \frac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}} - \frac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}} \right) \left(\frac yx\right)^{-1/2}. \]

Пусть \[ u=\sqrt[4]{x},\qquad v=\sqrt[4]{y}. \] Тогда \(x=u^4,\ y=v^4\).

Первая дробь: \[ \frac{u^4-v^4}{u^3+u^2v} = \frac{(u-v)(u+v)(u^2+v^2)}{u^2(u+v)} = \frac{(u-v)(u^2+v^2)}{u^2}. \]

Вторая дробь: \[ \frac{u^2-v^2}{u+v} = \frac{(u-v)(u+v)}{u+v} = u-v. \]

Разность: \[ \frac{(u-v)(u^2+v^2)}{u^2}-(u-v) = (u-v)\left(\frac{u^2+v^2}{u^2}-1\right) = (u-v)\frac{v^2}{u^2}. \]

Далее: \[ \left(\frac yx\right)^{-1/2} = \left(\frac xy\right)^{1/2} = \frac{u^2}{v^2}. \]

При умножении всё сокращается: \[ (u-v)\frac{v^2}{u^2}\cdot\frac{u^2}{v^2} = u-v. \]

Значит, ответ: \[ \sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}. \]

Главный приём: корни удобно записывать дробными степенями, а при упрощении выражений с \(\sqrt[4]{x}\) и \(\sqrt[4]{y}\) делать замену \(x=u^4,\ y=v^4\). Тогда корни исчезают, и работают обычные формулы сокращённого умножения.