Расскажи все правила трапеции

Краткий ответ. Трапеция — выпуклый четырёхугольник, у которого ровно одна пара противоположных сторон параллельна. Главное, что нужно помнить:

• средняя линия: \(m=\dfrac{a+b}{2}\);
• углы при каждой боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\);
• площадь: \(S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h=mh\);
• у равнобедренной трапеции равны углы при основаниях и диагонали;
• в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда \(a+b=c+d\);
• около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.

Обозначим трапецию \(ABCD\), где \(AD\parallel BC\), \(AD=a\), \(BC=b\), боковые стороны \(AB=c\), \(CD=d\), высота \(h\), средняя линия \(m\).

1. Свойства любой трапеции

1. Основания параллельны: \(AD\parallel BC\).

2. Углы при боковой стороне: \[ \angle A+\angle B=180^\circ,\qquad \angle C+\angle D=180^\circ. \] Это внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей.

3. Средняя линия соединяет середины боковых сторон: \[ m\parallel AD,\quad m\parallel BC,\quad m=\frac{a+b}{2}. \] Почему: диагональ \(AC\) делит трапецию на два треугольника, а средняя линия трапеции складывается из их средних линий: \[ m=\frac{b}{2}+\frac{a}{2}=\frac{a+b}{2}. \]

4. Отрезок между серединами диагоналей лежит на прямой, содержащей среднюю линию, и равен \[ \frac{|a-b|}{2}. \]

5. Диагонали и их точка пересечения \(O\). Треугольники \(AOD\) и \(BOC\) подобны с коэффициентом \(\dfrac{a}{b}\), поэтому \[ \frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{a}{b}. \] Площади четырёх треугольников относятся так: \[ S_{AOD}:S_{AOB}:S_{BOC}:S_{COD}=a^2:ab:b^2:ab. \] В частности, \(S_{AOB}=S_{COD}\).

6. Отрезок через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, заключённый между боковыми сторонами, равен \[ \frac{2ab}{a+b}. \] Это не средняя линия! Средняя линия равна \(\dfrac{a+b}{2}\).

7. Прямая через середины оснований проходит также через точку пересечения диагоналей \(O\) и точку пересечения продолжений боковых сторон \(P\).

Если продолжить боковые стороны до пересечения в точке \(P\), то \[ \triangle PBC\sim\triangle PAD \] с коэффициентом \(\dfrac{b}{a}\).

8. Площадь трапеции: \[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h=mh. \] Также для любой трапеции \[ S=\frac12 d_1d_2\sin\varphi, \] где \(d_1,d_2\) — диагонали, \(\varphi\) — угол между ними.

2. Равнобедренная трапеция

Если \(AB=CD\), то трапеция равнобедренная.

Её свойства:

1. Углы при каждом основании равны: \[ \angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C. \]

2. Диагонали равны: \[ AC=BD. \]

3. Есть ось симметрии — прямая, проходящая через середины оснований перпендикулярно им.

4. Если \(a>b\), то высота, опущенная из вершины верхнего основания на нижнее, делит нижнее основание на отрезки \[ \frac{a-b}{2}\quad\text{и}\quad \frac{a+b}{2}. \] Поэтому \[ c^2=h^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2, \] \[ d_1^2=h^2+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2. \]

5. Любую равнобедренную трапецию можно вписать в окружность. Верно и обратное: если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.

3. Прямоугольная трапеция

У прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Эта сторона равна высоте, а два угла трапеции прямые: \[ \angle A=\angle B=90^\circ. \] Остальные два угла в сумме дают \(180^\circ\).

4. Вписанная и описанная окружности

Вписанная окружность

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон: \[ a+b=c+d. \] Если окружность вписана, то \[ r=\frac{h}{2}, \] \[ S=r(a+b). \]

Для равнобедренной трапеции с вписанной окружностью: \[ c=d=\frac{a+b}{2}, \] \[ h=\sqrt{ab}, \] \[ r=\frac{\sqrt{ab}}{2}. \]

Описанная окружность

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная. Центр этой окружности лежит на оси симметрии трапеции.

5. Признаки

• Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон параллельна, а другая нет — это трапеция.
• Если в трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
• Если в трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
• Если \(a+b=c+d\), то в трапецию можно вписать окружность.
• Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.

Мини-проверка формул

Пусть \(a=10\), \(b=6\), \(h=4\). Тогда \[ m=\frac{10+6}{2}=8, \] \[ S=8\cdot 4=32. \] Если трапеция равнобедренная, то \[ c=\sqrt{4^2+\left(\frac{10-6}{2}\right)^2} =\sqrt{16+4}=2\sqrt5, \] \[ d_1=\sqrt{4^2+\left(\frac{10+6}{2}\right)^2} =\sqrt{16+64}=4\sqrt5. \]