Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$

Ответ: $x=2$ или $x=3$.

Ключевая идея

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит, если удастся разложить квадратный трёхчлен на скобки, уравнение решается устно.

Способ 1. Разложение на множители (по теореме Виета)

Ищем два числа, у которых:

• сумма равна $5$ (с противоположным знаком к коэффициенту $-5$),
• произведение равно $6$ (свободный член).

Подходят $2$ и $3$: $2+3=5$, $2\cdot 3=6$.

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$$

Отсюда $x-2=0$ или $x-3=0$, то есть $x=2$ или $x=3$.

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)

$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$$

$D>0$ — два разных корня:

$$x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}$$

$$x_1=\frac{6}{2}=3,\qquad x_2=\frac{4}{2}=2$$

Проверка

• $x=2$: $4-10+6=0$ ✔
• $x=3$: $9-15+6=0$ ✔

Оба корня подходят.

Что запомнить для похожих заданий

1. Если уравнение вида $x^2+px+q=0$, сначала пробуй Виета: нужны два числа с суммой $-p$ и произведением $q$. Это быстрее дискриминанта.
2. Если числа не подбираются (или коэффициенты «неудобные»), считай $D=b^2-4ac$: при $D>0$ два корня, при $D=0$ один, при $D<0$ корней нет.
3. В конце подставляй корни в исходное уравнение — это ловит ошибки в знаках.