Реши задание на изображении

Ниже — подробное решение всех четырёх пунктов.

---

1. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна \(140^\circ\)

Нужно найти больший угол трапеции.

В равнобедренной трапеции:

• углы при каждом основании равны;
• сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\).

Если бы \(140^\circ\) составляли два соседних угла при боковой стороне, их сумма была бы \(180^\circ\), а не \(140^\circ\). Значит, \(140^\circ\) — это сумма двух равных углов при одном основании.

Пусть каждый из них равен \(x\):

\[ x+x=140^\circ \]

\[ 2x=140^\circ \]

\[ x=70^\circ \]

Тогда углы при другом основании:

\[ 180^\circ-70^\circ=110^\circ \]

То есть углы трапеции равны:

\[ 70^\circ,\ 70^\circ,\ 110^\circ,\ 110^\circ \]

Больший угол:

\[ \boxed{110^\circ} \]

---

2. Высота равнобедренной трапеции равна \(5\), меньшее основание — \(6\), угол при основании — \(45^\circ\)

Нужно найти большее основание.

Пусть в трапеции \(ABCD\):

• \(AD\) — большее основание;
• \(BC=6\) — меньшее основание;
• высота \(BH=5\);
• угол при основании \(A\) равен \(45^\circ\).

Проведём две высоты \(BH\) и \(CK\). Тогда на большем основании получаются три отрезка:

\[ AD=AH+HK+KD \]

Так как трапеция равнобедренная, то:

\[ AH=KD \]

Средняя часть \(HK\) равна меньшему основанию:

\[ HK=BC=6 \]

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\). В нём:

\[ BH=5 \]

\[ \angle BAH=45^\circ \]

Тангенс угла \(45^\circ\) равен \(1\):

\[ \tan 45^\circ=\frac{BH}{AH} \]

\[ 1=\frac{5}{AH} \]

Значит:

\[ AH=5 \]

Аналогично:

\[ KD=5 \]

Теперь находим большее основание:

\[ AD=AH+HK+KD \]

\[ AD=5+6+5=16 \]

Ответ:

\[ \boxed{16} \]

---

3. Один из углов прямоугольной трапеции равен \(64^\circ\)

В прямоугольной трапеции два угла прямые, то есть по \(90^\circ\).

Сумма всех углов четырёхугольника:

\[ 360^\circ \]

Пусть неизвестный четвёртый угол равен \(x\). Тогда:

\[ 90^\circ+90^\circ+64^\circ+x=360^\circ \]

\[ 244^\circ+x=360^\circ \]

\[ x=360^\circ-244^\circ=116^\circ \]

Значит, углы трапеции:

\[ 90^\circ,\ 90^\circ,\ 64^\circ,\ 116^\circ \]

Больший угол:

\[ \boxed{116^\circ} \]

---

4. В равнобедренной трапеции \(ABCD\) даны \(\angle BCA=30^\circ\), \(\angle BAC=50^\circ\)

Нужно найти \(\angle ADC\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\). Сумма его углов равна \(180^\circ\):

\[ \angle BAC+\angle BCA+\angle ABC=180^\circ \]

Подставляем известные значения:

\[ 50^\circ+30^\circ+\angle ABC=180^\circ \]

\[ \angle ABC=180^\circ-80^\circ=100^\circ \]

Теперь используем то, что основания трапеции параллельны:

\[ AD\parallel BC \]

Прямая \(AB\) — секущая. Углы \(\angle DAB\) и \(\angle ABC\) — внутренние односторонние при параллельных прямых, поэтому их сумма равна \(180^\circ\):

\[ \angle DAB+\angle ABC=180^\circ \]

\[ \angle DAB+100^\circ=180^\circ \]

\[ \angle DAB=80^\circ \]

В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны:

\[ \angle DAB=\angle ADC \]

Следовательно:

\[ \angle ADC=80^\circ \]

Ответ:

\[ \boxed{80^\circ} \]

---

Итоговые ответы

1. \(\boxed{110^\circ}\)
2. \(\boxed{16}\)
3. \(\boxed{116^\circ}\)
4. \(\boxed{80^\circ}\)

Ниже — те же решения, но с рисунками.
Рисунки схематические, не в масштабе.

---

1. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна \(140^\circ\)

        B ───────── C
         /         \
        /           \
       A─────────────D

∠A = ∠D = 70°
∠B = ∠C = 110°

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
Сумма \(140^\circ\) — это сумма двух равных острых углов:

\[ 2x=140^\circ \]

\[ x=70^\circ \]

Тогда углы при другом основании:

\[ 180^\circ-70^\circ=110^\circ \]

Больший угол:

\[ \boxed{110^\circ} \]

---

2. Высота \(5\), меньшее основание \(6\), угол при основании \(45^\circ\)

              B ───── 6 ───── C
             /│               │\
            / │ h = 5         │ \
           A──H──── 6 ────────K──D
             5                 5

Проведём высоты \(BH\) и \(CK\).
Получим:

\[ BH=CK=5 \]

\[ HK=BC=6 \]

В прямоугольном треугольнике \(ABH\) угол при основании равен \(45^\circ\), поэтому треугольник равнобедренный:

\[ AH=BH=5 \]

Аналогично:

\[ KD=5 \]

Значит, большее основание:

\[ AD=AH+HK+KD \]

\[ AD=5+6+5=16 \]

Ответ:

\[ \boxed{16} \]

---

3. Один угол прямоугольной трапеции равен \(64^\circ\)

          B ───────── C
          │           \
          │            \
          A─────────────D

∠A = ∠B = 90°
∠D = 64°
∠C = 116°

В прямоугольной трапеции два угла прямые:

\[ 90^\circ \text{ и } 90^\circ \]

Сумма всех углов четырёхугольника:

\[ 360^\circ \]

Пусть неизвестный четвёртый угол равен \(x\):

\[ 90^\circ+90^\circ+64^\circ+x=360^\circ \]

\[ 244^\circ+x=360^\circ \]

\[ x=116^\circ \]

Больший угол:

\[ \boxed{116^\circ} \]

---

4. В равнобедренной трапеции \(ABCD\):

\[ \angle BCA=30^\circ,\qquad \angle BAC=50^\circ \]

Нужно найти \(\angle ADC\).

            B──────────C
           /      ·    \
          /        ·    \
         /          ·    \
        A────────────────D

Пунктиром показана диагональ \(AC\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\). Сумма его углов равна \(180^\circ\):

\[ \angle BAC+\angle BCA+\angle ABC=180^\circ \]

\[ 50^\circ+30^\circ+\angle ABC=180^\circ \]

\[ \angle ABC=100^\circ \]

Так как \(AD\parallel BC\), а \(AB\) — секущая, углы \(\angle DAB\) и \(\angle ABC\) внутренние односторонние:

\[ \angle DAB+\angle ABC=180^\circ \]

\[ \angle DAB+100^\circ=180^\circ \]

\[ \angle DAB=80^\circ \]

В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны:

\[ \angle ADC=\angle DAB=80^\circ \]

Ответ:

\[ \boxed{80^\circ} \]

---

Итоговые ответы

1. \(\boxed{110^\circ}\)
2. \(\boxed{16}\)
3. \(\boxed{116^\circ}\)
4. \(\boxed{80^\circ}\)