352 пошагово

Ответ: уравнение имеет 3 корня.

1. ОДЗ

Так как есть функция \(y=\dfrac{6}{x}\), то

\[ x\ne 0. \]

2. Строим параболу \(y=x^2+4x+1\)

Ветви направлены вверх. Вершина:

\[ x_0=-\frac{4}{2}=-2,\qquad y_0=(-2)^2+4(-2)+1=-3. \]

Вершина: \((-2;-3)\).

Точка пересечения с осью \(Oy\):

\[ y(0)=1 \quad \Rightarrow \quad (0;1). \]

Нули функции:

\[ x^2+4x+1=0, \]

\[ x=-2\pm\sqrt3. \]

Примерные значения: \(-3{,}73\) и \(-0{,}27\).

3. Строим гиперболу \(y=\dfrac{6}{x}\)

Она расположена в I и III координатных четвертях. Возьмём точки:

\[ (1;6),\ (2;3),\ (3;2),\ (6;1) \]

и

\[ (-1;-6),\ (-2;-3),\ (-3;-2),\ (-6;-1). \]

4. Находим точки пересечения графиков

По построению видно три точки пересечения:

\[ (1;6),\qquad (-2;-3),\qquad (-3;-2). \]

Их абсциссы и есть корни уравнения:

\[ x=1,\qquad x=-2,\qquad x=-3. \]

5. Проверка

Уравнение

\[ x^2+4x+1=\frac{6}{x} \]

при \(x\ne 0\) можно записать так:

\[ x^3+4x^2+x-6=0. \]

Разложим на множители:

\[ x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x+2)(x+3). \]

Значит,

\[ (x-1)(x+2)(x+3)=0, \]

то есть

\[ x=1,\quad x=-2,\quad x=-3. \]

Ответ: 3 корня.

Давай разберём подробнее, почему у уравнения

\[ x^2+4x+1=\frac{6}{x} \]

ровно три корня: \(x=-3,\ x=-2,\ x=1\).

1. Почему \(x\ne 0\)

В правой части есть дробь \(\frac6x\). На ноль делить нельзя, поэтому

\[ x\ne 0. \]

2. Что означает «решить графически»

Строим два графика:

\[ y=x^2+4x+1 \]

и

\[ y=\frac6x. \]

Корни уравнения — это \(x\)-координаты точек, где графики пересекаются.

3. Строим параболу \(y=x^2+4x+1\)

Это парабола, ветви направлены вверх.

Вершина:

\[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2, \]

\[ y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)+1=4-8+1=-3. \]

Значит, вершина параболы:

\[ (-2;-3). \]

Ось симметрии:

\[ x=-2. \]

Точка пересечения с осью \(Oy\):

\[ x=0,\qquad y=1. \]

То есть точка \((0;1)\).

Нули параболы:

\[ x^2+4x+1=0, \]

\[ x=-2\pm\sqrt3. \]

Примерно:

\[ x\approx -3{,}73 \quad \text{и} \quad x\approx -0{,}27. \]

Можно взять таблицу значений:

\(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y=x^2+4x+1\)	\(1\)	\(-2\)	\(-3\)	\(-2\)	\(1\)	\(6\)	\(13\)

4. Строим гиперболу \(y=\frac6x\)

Гипербола расположена в первой и третьей четвертях:

• при \(x>0\) значения \(y>0\);
• при \(x<0\) значения \(y<0\).

Возьмём точки:

\(x\)	\(-6\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(6\)
\(y=\frac6x\)	\(-1\)	\(-2\)	\(-3\)	\(-6\)	\(6\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)

5. Находим точки пересечения

Сравниваем таблицы.

При \(x=-3\):

\[ x^2+4x+1=9-12+1=-2, \]

\[ \frac6x=\frac6{-3}=-2. \]

Значит, графики пересекаются в точке

\[ (-3;-2). \]

При \(x=-2\):

\[ x^2+4x+1=4-8+1=-3, \]

\[ \frac6x=\frac6{-2}=-3. \]

Вторая точка пересечения:

\[ (-2;-3). \]

При \(x=1\):

\[ x^2+4x+1=1+4+1=6, \]

\[ \frac6x=\frac61=6. \]

Третья точка:

\[ (1;6). \]

Итак, на графике видны три точки пересечения:

\[ (-3;-2),\qquad (-2;-3),\qquad (1;6). \]

Их \(x\)-координаты:

\[ x=-3,\qquad x=-2,\qquad x=1. \]

6. Проверка алгеброй

Умножим обе части на \(x\), помня, что \(x\ne0\):

\[ x^2+4x+1=\frac6x \]

\[ x^3+4x^2+x=6 \]

\[ x^3+4x^2+x-6=0. \]

Проверим \(x=1\):

\[ 1+4+1-6=0. \]

Значит, можно разложить:

\[ x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x^2+5x+6). \]

А

\[ x^2+5x+6=(x+2)(x+3). \]

Поэтому

\[ (x-1)(x+2)(x+3)=0. \]

Отсюда:

\[ x=1,\qquad x=-2,\qquad x=-3. \]

7. Почему больше корней нет

После преобразования получилось уравнение третьей степени:

\[ x^3+4x^2+x-6=0. \]

У кубического уравнения не может быть больше трёх действительных корней. Мы нашли все три:

\[ -3,\ -2,\ 1. \]

Ответ: уравнение имеет 3 корня:

\[ \boxed{x=-3,\quad x=-2,\quad x=1.} \]

Если в задании спрашивают только «сколько корней», ответ — 3.