787

Краткий ответ: \[ \overrightarrow{DO}=\frac14\overrightarrow{EF}-\frac34\overrightarrow{ED} =\frac14\vec b-\frac34\vec a. \]

Как получить:

1. Так как \(EG\) — медиана, точка \(G\) — середина \(DF\). Поэтому \[ \overrightarrow{EG}=\frac12\left(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EF}\right) =\frac12(\vec a+\vec b). \]

2. Точка \(O\) — середина \(EG\), значит \[ \overrightarrow{EO}=\frac12\overrightarrow{EG} =\frac14(\vec a+\vec b). \]

3. Теперь выразим \(\overrightarrow{DO}\): \[ \overrightarrow{DO} =\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EO} =-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EO}. \] Подставляем: \[ \overrightarrow{DO} =-\vec a+\frac14(\vec a+\vec b) =\frac14\vec b-\frac34\vec a. \]

Проверка: если \(E\) — начало координат, \(D=\vec a\), \(F=\vec b\), то \[ G=\frac{\vec a+\vec b}{2},\qquad O=\frac{\vec a+\vec b}{4}, \] и \[ \overrightarrow{DO}=O-D =\frac{\vec a+\vec b}{4}-\vec a =\frac{\vec b-3\vec a}{4}. \] Всё совпадает.