348,349,351
Краткий ответ
348.
а) \(x=\pm\sqrt{30}\approx 5{,}48\) и \(-5{,}48\);
б) \(x=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}\approx 1{,}20\) и \(-1{,}20\);
в) \(x=3\pm2\sqrt3\approx 6{,}46\) и \(-0{,}46\);
г) \(x=-1\pm2\sqrt2\approx 1{,}83\) и \(-3{,}83\).
349.
а) \(-0{,}3\); б) \(6{,}6\); в) \(6{,}6\); г) \(9\).
351.
а) \(\dfrac{5-2a}{5+2a}\), \(a\ne\pm2{,}5\);
б) \(\dfrac{2y-3x}{2y+3x}\), \(2y\ne\pm3x\).
Как это получается
348. Уравнения вида \(t^2=A\)
Если \(t^2=A\), где \(A>0\), то
\[
t=\pm\sqrt A.
\]
То есть корней два: положительный и отрицательный.
а)
\[
x^2=30 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{30}\approx\pm5{,}48.
\]
б)
\[
7x^2=10 \quad\Rightarrow\quad x^2=\frac{10}{7}
\quad\Rightarrow\quad
x=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}\approx\pm1{,}20.
\]
Ноль в конце пишем, потому что округляем до сотых: \(1{,}20\).
в)
\[
(x-3)^2=12
\]
\[
x-3=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3
\]
\[
x=3\pm2\sqrt3.
\]
Так как \(2\sqrt3\approx3{,}46\), получаем:
\[
x\approx6{,}46 \quad\text{или}\quad x\approx-0{,}46.
\]
г)
\[
(x+1)^2=8
\]
\[
x+1=\pm\sqrt8=\pm2\sqrt2
\]
\[
x=-1\pm2\sqrt2.
\]
Так как \(2\sqrt2\approx2{,}83\):
\[
x\approx1{,}83 \quad\text{или}\quad x\approx-3{,}83.
\]
349. Вычисления с квадратными корнями
Полезно сразу заменять корни точными числами:
\[ \sqrt{0{,}16}=0{,}4,\qquad \sqrt{225}=15,\qquad \sqrt{900}=30. \]
а)
\[
3\sqrt{0{,}16}-0{,}1\sqrt{225}
=3\cdot0{,}4-0{,}1\cdot15
=1{,}2-1{,}5=-0{,}3.
\]
б)
\[
\sqrt{\frac19}=\frac13,
\]
поэтому
\[
0{,}2\sqrt{900}+1{,}8\sqrt{\frac19}
=0{,}2\cdot30+1{,}8\cdot\frac13
=6+0{,}6=6{,}6.
\]
в)
\[
0{,}3\sqrt{1{,}21}\cdot\sqrt{400}
=0{,}3\cdot1{,}1\cdot20
=0{,}33\cdot20=6{,}6.
\]
г)
\[
5:\sqrt{0{,}25}\cdot\sqrt{0{,}81}
=5:0{,}5\cdot0{,}9
=10\cdot0{,}9=9.
\]
Здесь деление и умножение выполняются слева направо.
351. Сокращение дробей
Нужно увидеть формулы сокращённого умножения:
\[ (A-B)^2=A^2-2AB+B^2, \] \[ A^2-B^2=(A-B)(A+B). \]
а)
Числитель:
\[
4a^2-20a+25=(2a-5)^2.
\]
Знаменатель:
\[
25-4a^2=(5-2a)(5+2a).
\]
Так как \((2a-5)^2=(5-2a)^2\), получаем:
\[
\frac{(5-2a)^2}{(5-2a)(5+2a)}
=\frac{5-2a}{5+2a}.
\]
Ограничение:
\[
a\ne\pm2{,}5,
\]
потому что при этих значениях исходный знаменатель равен нулю.
б)
Числитель:
\[
9x^2+4y^2-12xy=(3x-2y)^2=(2y-3x)^2.
\]
Знаменатель:
\[
4y^2-9x^2=(2y-3x)(2y+3x).
\]
Сокращаем:
\[
\frac{(2y-3x)^2}{(2y-3x)(2y+3x)}
=\frac{2y-3x}{2y+3x}.
\]
Ограничение:
\[
2y\ne\pm3x.
\]
Проверка:
В 351а при \(a=0\): исходная дробь \(\frac{25}{25}=1\), упрощённая \(\frac55=1\).
В 351б при \(x=0,\ y=1\): исходная \(\frac44=1\), упрощённая \(\frac22=1\).
