Реши задание на изображении
Кратко
- Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
- Стороны: 11 см и 33 см.
- Периметр: 24 см.
1. Определение и свойства параллелограмма
Определение. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого две пары противоположных сторон параллельны.
Свойства:
- противоположные стороны равны;
- противоположные углы равны;
- сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\);
- диагонали точкой пересечения делятся пополам;
- каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
2. Периметр \(88\) см, одна сторона в 3 раза больше другой
Пусть меньшая сторона равна \(x\), тогда большая — \(3x\).
Периметр параллелограмма:
\[ P=2(x+3x)=8x \]
\[ 8x=88 \quad\Rightarrow\quad x=11 \]
Значит, большая сторона:
\[ 3x=33 \]
Ответ: \(11\) см и \(33\) см.
Проверка:
\[ 2(11+33)=2\cdot44=88 \]
3. Меньшая сторона \(4\) см, биссектрисы пересекаются на противоположной стороне
Пусть в параллелограмме \(ABCD\) сторона \(AB\) — большая, \(AD=BC=4\) см. Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(M\) на стороне \(CD\).
Так как \(AB\parallel CD\), то при секущей \(AM\):
\[ \angle BAM=\angle AMD \]
Но \(AM\) — биссектриса, поэтому:
\[ \angle BAM=\angle MAD \]
Значит:
\[ \angle MAD=\angle AMD \]
Тогда треугольник \(AMD\) равнобедренный:
\[ AD=DM=4 \]
Аналогично для угла \(B\):
\[ BC=CM=4 \]
Следовательно:
\[ CD=DM+MC=4+4=8 \]
То есть большая сторона равна \(8\) см. Периметр:
\[ P=2(4+8)=24 \]
Ответ: \(24\) см.
Обсуждение
5 сообщенийчертёж к задаче
К третьей задаче — где биссектрисы пересекаются на противоположной стороне. Схема без масштаба:
D──────M──────C
╱ ╲ ╱ ╲ ╱
╱ ╲ ╱ ╲ ╱
A──────────────B
Обозначения на чертеже:
- \(M\) лежит на \(DC\);
- \(AM\) — биссектриса \(\angle A\);
- \(BM\) — биссектриса \(\angle B\);
- \(AD=BC=4\) см;
- \(DM=MC=4\) см, поэтому \(DC=8\) см;
- \(AB=DC=8\) см.
Отметь на чертеже равные углы:
\[ \angle DAM=\angle MAB,\qquad \angle ABM=\angle MBC. \]
Как построить:
- Начерти \(AB=8\) см.
- Проведи \(AD=BC=4\) см под наклоном, соедини \(D\) и \(C\).
- Раздели \(DC\) пополам — получишь точку \(M\).
- Проведи \(AM\) и \(BM\) — это биссектрисы.
- Подпиши \(AD=BC=DM=MC=4\) см, \(AB=DC=8\) см.
к третей задачи чертеж схему
нарисовать
Схема к третьей задаче (пропорции примерно соблюдены: \(AB=DC=8\), \(AD=BC=DM=MC=4\)):
D───────M───────C
╱ ╱ ╲ ╱
╱ ╱ ╲ ╱
╱ ╱ ╲ ╱
A───────────────B
На этом чертеже:
- \(ABCD\) — параллелограмм, \(AB\parallel DC\), \(AD\parallel BC\);
- \(M\) — точка на стороне \(DC\), причём \(DM=MC=4\) см;
- \(AM\) — биссектриса \(\angle A\), \(BM\) — биссектриса \(\angle B\);
- равные отрезки: \(AD=BC=DM=MC=4\) см, \(AB=DC=8\) см.
Углы:
\[ \angle DAM=\angle MAB,\qquad \angle ABM=\angle MBC. \]
Как построить точно (удобно взять \(\angle A=60^\circ\))
- Проведи \(AB=8\) см.
- В точке \(A\) построй угол \(60^\circ\) и отложи \(AD=4\) см.
- Из \(D\) проведи луч, параллельный \(AB\), отложи \(DC=8\) см — получишь точку \(C\); соедини \(B\) и \(C\).
- Раздели \(DC\) пополам: \(DM=MC=4\) см — это точка \(M\).
- Проведи \(AM\) и \(BM\) — это и есть биссектрисы.
- Подпиши: \(\angle DAM=\angle MAB=30^\circ\), \(\angle ABM=\angle MBC=60^\circ\).
Проверка по чертежу: \(\angle A=60^\circ\) делится пополам на \(30^\circ\), а \(\angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ\) — на \(60^\circ\). Треугольник \(BMC\) при таком построении равносторонний (\(BC=CM=BM=4\)), поэтому обе биссектрисы действительно сходятся в одной точке \(M\) на стороне \(DC\).
