Как умножать матрица

Разберу все 4 задания по порядку.

---

1. Векторы единичной длины, параллельные \(\vec u\)

Дано: \[ \vec u=6\vec i-9\vec j+2\vec k. \]

Длина вектора: \[ |\vec u|=\sqrt{6^2+(-9)^2+2^2} =\sqrt{36+81+4}=\sqrt{121}=11. \]

Вектор, параллельный \(\vec u\), имеет вид \(\lambda \vec u\). Чтобы он был единичным: \[ |\lambda|\cdot 11=1 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm\frac1{11}. \]

Значит, искомые векторы: \[ \boxed{\pm\frac1{11}(6\vec i-9\vec j+2\vec k)} \] или в координатах: \[ \boxed{\left(\frac6{11};-\frac9{11};\frac2{11}\right)} \quad\text{и}\quad \boxed{\left(-\frac6{11};\frac9{11};-\frac2{11}\right)}. \]

---

2. Ранг и базис системы векторов

Запишем векторы: \[ A_1=\begin{pmatrix}-2\\5\\4\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}-3\\3\\2\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}0\\9\\8\end{pmatrix}, \] \[ A_4=\begin{pmatrix}-5\\8\\6\end{pmatrix},\quad A_5=\begin{pmatrix}-7\\13\\10\end{pmatrix}. \]

Заметим зависимости: \[ 3A_1-2A_2= 3\begin{pmatrix}-2\\5\\4\end{pmatrix} -2\begin{pmatrix}-3\\3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\9\\8\end{pmatrix}=A_3. \]

То есть \(A_3\) выражается через \(A_1,A_2\).

Аналогично: \[ A_4=A_1+A_2, \] \[ A_5=2A_1+A_2. \]

Проверим: \[ A_1+A_2= \begin{pmatrix}-2\\5\\4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\8\\6\end{pmatrix}=A_4. \]

\[ 2A_1+A_2= \begin{pmatrix}-4\\10\\8\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7\\13\\10\end{pmatrix}=A_5. \]

Векторы \(A_1\) и \(A_2\) не пропорциональны, значит, они линейно независимы. Все остальные через них выражаются.

Поэтому: \[ \boxed{\operatorname{rank}=2,\qquad \text{базис }\{A_1,A_2\}.} \]

Разложения по базису: \[ \boxed{A_1=1\cdot A_1+0\cdot A_2} \] \[ \boxed{A_2=0\cdot A_1+1\cdot A_2} \] \[ \boxed{A_3=3A_1-2A_2} \] \[ \boxed{A_4=A_1+A_2} \] \[ \boxed{A_5=2A_1+A_2}. \]

В базисе \((A_1,A_2)\) координаты векторов: \[ [A_1]=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad [A_2]=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\quad [A_3]=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}, \] \[ [A_4]=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\quad [A_5]=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}. \]

---

3. Вычислить определитель матрицы

Матрица: \[ M= \begin{pmatrix} 27&42&40&53\\ 40&63&58&80\\ 13&20&18&25\\ 55&85&80&106 \end{pmatrix}. \]

Сначала заметим: \[ R_4-2R_1= (55;85;80;106)-2(27;42;40;53) =(1;1;0;0). \]

При замене строки на «строку плюс другую строку» определитель не меняется. Поэтому: \[ \det M= \det \begin{pmatrix} 27&42&40&53\\ 40&63&58&80\\ 13&20&18&25\\ 1&1&0&0 \end{pmatrix}. \]

Теперь обнулим первый столбец в первых трёх строках, используя последнюю строку: \[ R_1\to R_1-27R_4, \] \[ R_2\to R_2-40R_4, \] \[ R_3\to R_3-13R_4. \]

Получим: \[ \begin{pmatrix} 0&15&40&53\\ 0&23&58&80\\ 0&7&18&25\\ 1&1&0&0 \end{pmatrix}. \]

Раскладываем определитель по первому столбцу: \[ \det M= (-1)^{4+1}\cdot 1\cdot \det \begin{pmatrix} 15&40&53\\ 23&58&80\\ 7&18&25 \end{pmatrix}. \]

То есть: \[ \det M=-D, \] где \[ D= \det \begin{pmatrix} 15&40&53\\ 23&58&80\\ 7&18&25 \end{pmatrix}. \]

Вычислим: \[ D=15(58\cdot25-80\cdot18) -40(23\cdot25-80\cdot7) +53(23\cdot18-58\cdot7). \]

Считаем: \[ 58\cdot25-80\cdot18=1450-1440=10, \] \[ 23\cdot25-80\cdot7=575-560=15, \] \[ 23\cdot18-58\cdot7=414-406=8. \]

Тогда: \[ D=15\cdot10-40\cdot15+53\cdot8 =150-600+424=-26. \]

Значит: \[ \det M=-(-26)=\boxed{26}. \]

---

4. Решить матричное уравнение

Дано: \[ AXE=B, \] где \[ A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&2\\ 3&2&4 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 1&2&5&-2\\ 1&0&1&2\\ 3&-1&-2&1 \end{pmatrix}. \]

В таких заданиях \(E\) обычно обозначает единичную матрицу. Тогда \(XE=X\), и уравнение принимает вид: \[ AX=B. \]

Сначала найдём определитель \(A\): \[ \det A= 1(1\cdot4-2\cdot2) -2(2\cdot4-2\cdot3) +3(2\cdot2-1\cdot3). \]

\[ \det A=0-2(8-6)+3(4-3) =0-4+3=-1. \]

Так как \(\det A\ne0\), обратная матрица существует.

Обратная матрица: \[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 0&2&-1\\ 2&5&-4\\ -1&-4&3 \end{pmatrix}. \]

Так как \(AX=B\), умножаем обе части слева на \(A^{-1}\): \[ X=A^{-1}B. \]

Выполняем умножение: \[ X= \begin{pmatrix} 0&2&-1\\ 2&5&-4\\ -1&-4&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&5&-2\\ 1&0&1&2\\ 3&-1&-2&1 \end{pmatrix}. \]

Получаем: \[ \boxed{ X= \begin{pmatrix} -1&1&4&3\\ -5&8&23&2\\ 4&-5&-15&-3 \end{pmatrix} } \]

Проверка: если подставить эту \(X\) в \(AX\), получается матрица \(B\).

---

Краткие ответы

1. \(\boxed{\pm\dfrac1{11}(6\vec i-9\vec j+2\vec k)}\)

2. \(\boxed{\operatorname{rank}=2}\), базис \(\boxed{\{A_1,A_2\}}\): \[ A_3=3A_1-2A_2,\quad A_4=A_1+A_2,\quad A_5=2A_1+A_2. \]

3. \(\boxed{\det M=26}\)

4. \[ \boxed{ X= \begin{pmatrix} -1&1&4&3\\ -5&8&23&2\\ 4&-5&-15&-3 \end{pmatrix} } \]