233, а По примеру ниже
Краткий ответ: \(a=0\) или \(a=-3\).
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\[ \frac{a^3-9a}{a^2+a-12}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} a^3-9a=0,\\ a^2+a-12\ne 0. \end{cases} \]
1. Приравниваем числитель к нулю:
\[ a^3-9a=0 \]
\[ a(a^2-9)=0 \]
\[ a(a-3)(a+3)=0 \]
Отсюда:
\[ a=0,\quad a=3,\quad a=-3. \]
2. Проверяем знаменатель:
\[ a^2+a-12=0 \]
\[ (a+4)(a-3)=0 \]
Значит, знаменатель обращается в нуль при
\[ a=-4,\quad a=3. \]
Поэтому \(a\ne -4\) и \(a\ne 3\).
3. Убираем посторонний корень:
Корень \(a=3\) получился из числителя, но при \(a=3\) знаменатель тоже равен нулю:
\[ \frac{0}{0} \]
— выражение не имеет смысла, поэтому \(a=3\) не подходит.
Остаются:
\[ a=0,\quad a=-3. \]
Проверка:
- при \(a=0\): числитель \(0\), знаменатель \(-12\ne0\);
- при \(a=-3\): числитель \(0\), знаменатель \(-6\ne0\).
Ответ: \(a=0;\ a=-3\).
Обсуждение
4 сообщения234, а По примеру ниже
Ответ:
\[
y=\pm\sqrt{\frac25}=\pm\frac{\sqrt{10}}5.
\]
Решение:
\[ \frac{5y^3-15y^2-2y+6}{y^2-9}=0 \]
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\[ \begin{cases} 5y^3-15y^2-2y+6=0,\\ y^2-9\ne0. \end{cases} \]
Знаменатель:
\[ y^2-9=(y-3)(y+3), \]
поэтому
\[ y\ne3,\quad y\ne-3. \]
Разложим числитель способом группировки:
\[ 5y^3-15y^2-2y+6= 5y^2(y-3)-2(y-3)= (y-3)(5y^2-2). \]
Получаем:
\[ (y-3)(5y^2-2)=0. \]
Значит:
\[ y-3=0 \quad \text{или}\quad 5y^2-2=0. \]
Отсюда:
\[ y=3 \]
или
\[ y^2=\frac25,\qquad y=\pm\sqrt{\frac25}=\pm\frac{\sqrt{10}}5. \]
Но \(y=3\) не подходит, потому что при \(y=3\) знаменатель обращается в нуль:
\[ 3^2-9=0. \]
Остаются корни:
\[ y=-\sqrt{\frac25},\qquad y=\sqrt{\frac25}. \]
Ответ: \[ \boxed{y=\pm\frac{\sqrt{10}}5} \]
235, б По примеру ниже
№235, б
\[ \frac{x+5}{x-1}+\frac{2x-5}{x-7}-\frac{30-12x}{8x-x^2-7}=0 \]
1. ОДЗ:
\[ x-1\ne0 \Rightarrow x\ne1, \qquad x-7\ne0 \Rightarrow x\ne7. \]
2. Разложим третий знаменатель:
\[ 8x-x^2-7=-(x^2-8x+7)=-(x-1)(x-7). \]
Поэтому
\[ -\frac{30-12x}{8x-x^2-7} = -\frac{30-12x}{-(x-1)(x-7)} = \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)}. \]
Уравнение принимает вид:
\[ \frac{x+5}{x-1}+\frac{2x-5}{x-7}+\frac{30-12x}{(x-1)(x-7)}=0. \]
3. Умножим обе части на общий знаменатель \((x-1)(x-7)\), учитывая \(x\ne1,\ x\ne7\):
\[ (x+5)(x-7)+(2x-5)(x-1)+(30-12x)=0. \]
Раскроем скобки:
\[ x^2-2x-35+2x^2-7x+5+30-12x=0. \]
\[ 3x^2-21x=0. \]
\[ 3x(x-7)=0. \]
Отсюда:
\[ x=0 \quad \text{или}\quad x=7. \]
Но \(x=7\) не входит в ОДЗ — при нём знаменатели обращаются в нуль.
Ответ:
\[ \boxed{x=0} \]
