Реши задание на изображении

Краткий ответ

Ключевые шаги

1. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

   • В1: для угла \(\alpha\) противолежащий катет — \(a\), поэтому \(\sin\alpha=\frac ac\).
   • В2: для угла \(\beta\) противолежащий катет — \(b\), поэтому \(\sin\beta=\frac bc\).

2. Площадь параллелограмма:
   \[ S=ab\sin\gamma . \]

   • В1: \(S=5\cdot2\sqrt2\cdot\sin135^\circ =10\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=10\).
   • В2: \(S=7\cdot3\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=21\).

3. В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам.

   • В1: половина основания \(=6\).
     \(\cos C=\frac{6}{BC}=\frac35\), значит \(BC=10\).
     Высота: \(\sqrt{10^2-6^2}=8\).
     \[ S=\frac12\cdot12\cdot8=48. \]
   • В2: половина основания \(=4\).
     \(\cos C=\frac{4}{BC}=\frac{12}{15}=\frac45\), значит \(BC=5\).
     Высота: \(\sqrt{5^2-4^2}=3\).
     \[ S=\frac12\cdot8\cdot3=12. \]

4. В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе удовлетворяет: \[ CH^2=AH\cdot HB. \]

   • В1: \(CH^2=9\cdot25=225\), \(CH=15\).
     Гипотенуза \(AB=9+25=34\).
     \[ S=\frac12\cdot34\cdot15=255. \]
   • В2: \(CH^2=9\cdot16=144\), \(CH=12\).
     \(AB=9+16=25\).
     \[ S=\frac12\cdot25\cdot12=150. \]

5. В равнобедренной трапеции опускаем высоты. Если \(x\) — проекция боковой стороны на большее основание, то \[ x=AB|\cos B|,\qquad h=AB\sin B, \] \[ AD=BC+2x,\qquad S=\frac{BC+AD}{2}h. \]

   • В1:
     \(\sin B=\sqrt{1-\left(\frac34\right)^2}=\frac{\sqrt7}{4}\),
     \(h=16\cdot\frac{\sqrt7}{4}=4\sqrt7\),
     \(x=16\cdot\frac34=12\),
     \(AD=4+24=28\).
     \[ S=\frac{4+28}{2}\cdot4\sqrt7=64\sqrt7. \]
   • В2:
     \(\sin B=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45\),
     \(h=15\cdot\frac45=12\),
     \(x=15\cdot\frac35=9\),
     \(AD=4+18=22\).
     \[ S=\frac{4+22}{2}\cdot12=156. \]

В №5 косинус может быть записан с минусом: угол \(B\) в такой трапеции тупой, но для длины проекции берётся \(|\cos B|\), а \(\sin B>0\), поэтому площадь считается так же.