Конспект на тему уравнение окружночти
Краткий ответ (конспект в одну строку)
Окружность с центром $C(x_0;,y_0)$ и радиусом $R$ — это множество точек $M(x;y)$, удалённых от $C$ ровно на $R$:
$$\boxed{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2}$$
Если центр в начале координат: $x^2+y^2=R^2$.
1. Откуда берётся формула
Расстояние между точками $C(x_0;y_0)$ и $M(x;y)$:
$$CM=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$$
Условие «$M$ лежит на окружности» — это $CM=R$. Возводим обе части в квадрат (они неотрицательны, поэтому корень уходит):
$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$$
Главная идея: уравнение окружности — это просто запись условия «расстояние до центра равно радиусу». Знак минус в скобках не пугает: $(x-x_0)$ — это разность координат, как в формуле расстояния.
2. Три типовые задачи
а) Даны центр и радиус. $C(-1;2)$, $R=3$: $$(x+1)^2+(y-2)^2=9$$ (в скобках всегда «координата точки минус координата центра», поэтому $x-(-1)=x+1$).
б) Даны концы диаметра $A(1;2)$, $B(5;10)$. Центр — середина $AB$: $$x_0=\frac{1+5}{2}=3,\quad y_0=\frac{2+10}{2}=6$$ Радиус — половина диаметра: $AB=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5$, значит $R=2\sqrt5$, $R^2=20$: $$(x-3)^2+(y-6)^2=20$$ Проверка: подставим $A$: $(1-3)^2+(2-6)^2=4+16=20$ ✓ — точка действительно на окружности.
в) Дано общее уравнение $x^2+y^2-6x+4y-3=0$. Выделяем полные квадраты: $$(x^2-6x+9)-9+(y^2+4y+4)-4-3=0$$ $$(x-3)^2+(y+2)^2=16$$ Центр $(3;-2)$, $R=4$.
Общий вид $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ (коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ равны 1!) даёт: $$x_0=-\frac{D}{2},\quad y_0=-\frac{E}{2},\quad R=\frac12\sqrt{D^2+E^2-4F}$$ Здесь: $D=-6,\ E=4,\ F=-3$ → $R=\frac12\sqrt{36+16+12}=\frac12\cdot 8=4$ ✓ совпало.
3. Что важно не перепутать
| Вопрос | Как отвечать |
|---|---|
| Точка на окружности? | Подставить в уравнение, сравнить с $R^2$: равно — лежит, меньше — внутри, больше — снаружи |
| $R^2=0$ | «Окружность» вырождается в одну точку (центр) |
| $D^2+E^2-4F<0$ | Решений нет — уравнения окружности не существует |
| Проверка центра | Центр не должен удовлетворять уравнению (он не лежит на окружности) |
| График | У окружности на каждый $x$ (внутри промежутка) два $y$ — это не функция |
Алгоритм для любой задачи: найти центр (по условию, как середину диаметра или через полные квадраты) → найти $R$ (по точке на окружности, по диаметру или по формуле) → записать $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ → подставить одну известную точку для проверки.
