Реши задание на изображении
Ответ: \(S_{ABCD}=S_{ADE}\).
Заполнение пропусков
- \(\triangle BEF=\triangle CDF\) по стороне и двум прилежащим к ней углам:
\[ BE=CD,\qquad \angle 1=\angle 2,\qquad \angle 3=\angle 4. \]
Эти углы накрест лежащие при пересечении параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) секущими \(DE\) и \(BC\).
Поэтому
\[ S_{BEF}=S_{CDF}. \]
- Разбиваем фигуры:
\[ S_{ABCD}=S_{ABFD}+S_{CDF}, \]
\[ S_{ADE}=S_{ABFD}+S_{BEF}. \]
Так как \(S_{BEF}=S_{CDF}\), получаем:
\[ S_{ABCD}=S_{ADE}. \]
Почему \(BE=CD\)
Точка \(E\) симметрична \(A\) относительно \(B\), значит:
\[ AB=BE. \]
В параллелограмме противоположные стороны равны:
\[ AB=CD. \]
Следовательно,
\[ BE=CD. \]
А так как \(AB\parallel CD\), то и \(BE\parallel CD\). Значит, указанные углы действительно равны как накрест лежащие.
Идея доказательства: две маленькие части — \(\triangle BEF\) и \(\triangle CDF\) — равны по площади, поэтому большие фигуры, состоящие из общей части \(ABFD\) и одной из этих равных частей, тоже равны по площади.
