Реши задание на изображении

Краткие ответы:

1. Векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) не ортогональны и не коллинеарны.
2. \(2\vec a+\vec b=(10;1;-7)\), \(\cos\angle(\vec a,\vec b)=\dfrac{17}{\sqrt{364}}=\dfrac{17}{2\sqrt{91}}\approx0{,}891\).
3. \(|\vec a-3\vec b|=\sqrt{186}\).
4. \(\vec a=\overrightarrow{AB}=(-4;-4;0)\).

Как это получается

1) \(\vec a(-1;3;-3)\), \(\vec b(4;-5;1)\).

Скалярное произведение: \[ \vec a\cdot\vec b=-1\cdot4+3\cdot(-5)+(-3)\cdot1=-4-15-3=-22\ne0. \] Значит, векторы не ортогональны.

Коллинеарность проверяем по пропорциональности координат: \[ \frac{-1}{4}\ne\frac{3}{-5}, \] поэтому векторы не коллинеарны.
Ответ: ни ортогональные, ни коллинеарные.

2) \(\vec a(3;1;-2)\), \(\vec b(4;-1;-3)\).

Сначала: \[ 2\vec a=(6;2;-4), \] \[ 2\vec a+\vec b=(6+4;\,2-1;\,-4-3)=(10;1;-7). \]

Косинус угла: \[ \cos\angle(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}. \] Считаем: \[ \vec a\cdot\vec b=3\cdot4+1\cdot(-1)+(-2)\cdot(-3)=12-1+6=17, \] \[ |\vec a|=\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{14}, \] \[ |\vec b|=\sqrt{4^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{26}. \] Тогда: \[ \cos\angle(\vec a,\vec b)=\frac{17}{\sqrt{14}\sqrt{26}} =\frac{17}{\sqrt{364}}. \]

Проверка: \(17^2=289<364\), поэтому \(0<\cos<1\), всё согласуется.

3) \(\vec a(2;1;-5)\), \(\vec b(-3;0;1)\).

\[ 3\vec b=(-9;0;3), \] \[ \vec a-3\vec b=(2-(-9);\,1-0;\,-5-3)=(11;1;-8). \] Длина: \[ |\vec a-3\vec b|=\sqrt{11^2+1^2+(-8)^2} =\sqrt{121+1+64}=\sqrt{186}. \]

4) \(A(2;1;3)\), \(B(-2;-3;3)\).

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) находится по формуле «координаты конца минус координаты начала»: \[ \overrightarrow{AB}=B-A=(-2-2;\,-3-1;\,3-3). \] То есть: \[ \overrightarrow{AB}=(-4;-4;0). \] По условию \(\vec a=\overrightarrow{AB}\), значит, \[ \vec a=(-4;-4;0). \]

Что важно запомнить: ортогональность проверяется через \(\vec a\cdot\vec b=0\), коллинеарность — через пропорциональность координат, длина вектора — через корень из суммы квадратов координат, а \(\overrightarrow{AB}=B-A\).