Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. Векторы не ортогональны и не коллинеарны.
2. \(2\vec a+\vec b=(10;\,1;\,-7)\),
   \[ \cos\angle(\vec a,\vec b)=\frac{17}{\sqrt{364}}. \]
3. \[ |\vec a-3\vec b|=\sqrt{186}. \]
4. \[ \vec a=\overrightarrow{AB}=(-4;\,-4;\,0). \]

1. Ортогональность и коллинеарность

Даны: \[ \vec a=(-1;3;-3),\qquad \vec b=(4;-5;1). \]

Ортогональность проверяем через скалярное произведение: \[ \vec a\cdot\vec b=(-1)\cdot4+3\cdot(-5)+(-3)\cdot1 =-4-15-3=-22. \] Так как \(-22\ne0\), векторы не ортогональны.

Коллинеарность проверяем по пропорциональности координат: \[ \frac{-1}{4}\ne\frac{3}{-5}. \] Значит, векторы не коллинеарны.

Ответ: ни ортогональные, ни коллинеарные.

2. Координаты \(2\vec a+\vec b\) и косинус угла

Даны: \[ \vec a=(3;1;-2),\qquad \vec b=(4;-1;-3). \]

Умножаем вектор на число: \[ 2\vec a=(6;2;-4). \] Складываем: \[ 2\vec a+\vec b=(6+4;\,2-1;\,-4-3)=(10;1;-7). \]

Теперь косинус угла: \[ \vec a\cdot\vec b=3\cdot4+1\cdot(-1)+(-2)\cdot(-3) =12-1+6=17. \] \[ |\vec a|=\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{14}, \] \[ |\vec b|=\sqrt{4^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{26}. \] Поэтому \[ \cos\angle(\vec a,\vec b) = \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} = \frac{17}{\sqrt{14}\sqrt{26}} = \frac{17}{\sqrt{364}}. \]

Ответ: \[ 2\vec a+\vec b=(10;1;-7),\qquad \cos\angle(\vec a,\vec b)=\frac{17}{\sqrt{364}}. \]

3. Длина вектора \(\vec a-3\vec b\)

Даны: \[ \vec a=(2;1;-5),\qquad \vec b=(-3;0;1). \]

Сначала: \[ 3\vec b=(-9;0;3). \] Тогда \[ \vec a-3\vec b=(2-(-9);\,1-0;\,-5-3)=(11;1;-8). \] Длина: \[ |\vec a-3\vec b| = \sqrt{11^2+1^2+(-8)^2} = \sqrt{121+1+64} = \sqrt{186}. \]

Ответ: \(\sqrt{186}\).

4. Вектор \(\overrightarrow{AB}\)

Точки: \[ A(2;1;3),\qquad B(-2;-3;3). \]

Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) находятся так: \[ \overrightarrow{AB}=B-A. \] То есть из координат конца вычитаем координаты начала: \[ \overrightarrow{AB}=(-2-2;\,-3-1;\,3-3)=(-4;-4;0). \]

Значит, \[ \vec a=(-4;-4;0). \]

Проверка: \[ A+\overrightarrow{AB}=(2;1;3)+(-4;-4;0)=(-2;-3;3)=B. \]

Главное правило

• Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно \(0\).
• Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны.
• Сложение и умножение на число выполняются покоординатно.
• Длина вектора: \[ |\vec v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]
• Вектор из точки \(A\) в точку \(B\): \[ \overrightarrow{AB}=B-A. \]