Реши уравнение

На фото не уравнение, а четыре определённых интеграла. Ответы:

• д) \(\dfrac{2\pi}{3}+1\)
• е) \(78\)
• ж) \(\dfrac{\pi}{12}+\dfrac14\)
• з) \(9\dfrac13\)

Общий принцип: сначала упрощаем подынтегральное выражение или делаем замену, затем находим первообразную и применяем формулу Ньютона–Лейбница: \[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). \]

д) Используем \(\sin^2t+\cos^2t=1\) и \(2\sin t\cos t=\sin 2t\): \[ \left(\sin\frac x4+\cos\frac x4\right)^2=1+\sin\frac x2. \] Тогда \[ \int_0^{2\pi/3}\left(1+\sin\frac x2\right)dx =\left[x-2\cos\frac x2\right]_0^{2\pi/3} =\frac{2\pi}{3}+1. \]

е) Замена \(u=1+2x\), \(du=2dx\): \[ \int_0^2(1+2x)^3dx =\frac18\left[(1+2x)^4\right]_0^2 =\frac{5^4-1}{8} =\frac{624}{8}=78. \] То есть \(624:8=78\), а не \(48\).

ж) \[ \int_0^{\pi/12}(1+\cos2x)\,dx =\left[x+\frac12\sin2x\right]_0^{\pi/12} =\frac{\pi}{12}+\frac12\sin\frac{\pi}{6} =\frac{\pi}{12}+\frac14. \]

з) Сначала упрощаем: \[ \frac{x+\sqrt x}{\sqrt x}=\sqrt x+1. \] Значит, \[ \int_0^4(\sqrt x+1)\,dx =\left[\frac23x^{3/2}+x\right]_0^4 =\frac{16}{3}+4 =\frac{28}{3} =9\frac13. \]