136

Кратко:

а) \(5(x-13)(x+24)<0\)
\[ x\in(-24;\,13) \]

б) \(-\left(x+\frac17\right)\left(x+\frac13\right)\ge 0\)
\[ x\in\left[-\frac13;\,-\frac17\right] \]

в) \((x+12)(3-x)>0\)
\[ x\in(-12;\,3) \]

г) \((6+x)(3x-1)<0\)
\[ x\in\left(-6;\,\frac13\right) \]

---

Как это решать

Используем метод интервалов:

1. Переносим всё в одну сторону, чтобы справа был \(0\).
2. Находим нули каждого множителя.
3. Отмечаем их на числовой прямой.
4. Определяем знак выражения на каждом интервале.
5. Выбираем нужные интервалы.
   Если неравенство строгое — \(<\) или \(>\), концы не включаем.
   Если нестрогое — \(\le\) или \(\ge\), концы включаем.

Положительный множитель, например \(5\), на знак не влияет.

---

а) \(5(x-13)(x+24)<0\)

Нули:

\[ x=13,\qquad x=-24 \]

Парабола направлена вверх, значит произведение отрицательно между корнями.

Проверка: возьмём \(x=0\):

\[ 5(0-13)(0+24)<0 \]

\[ 5\cdot(-13)\cdot24<0 \]

Верно. Поэтому:

\[ \boxed{x\in(-24;13)} \]

---

б) \(-\left(x+\frac17\right)\left(x+\frac13\right)\ge0\)

Умножим обе части на \(-1\). При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:

\[ \left(x+\frac17\right)\left(x+\frac13\right)\le0 \]

Нули:

\[ x=-\frac17,\qquad x=-\frac13 \]

Причём

\[ -\frac13<-\frac17 \]

Произведение \(\le0\) между корнями, включая сами корни:

\[ \boxed{x\in\left[-\frac13;-\frac17\right]} \]

---

в) \((x+12)(3-x)>0\)

Нули:

\[ x=-12,\qquad x=3 \]

Можно переписать:

\[ 3-x=-(x-3) \]

Тогда

\[ -(x+12)(x-3)>0 \]

Умножим на \(-1\), знак неравенства поменяется:

\[ (x+12)(x-3)<0 \]

Значит \(x\) находится между \(-12\) и \(3\):

\[ \boxed{x\in(-12;3)} \]

Проверка при \(x=0\):

\[ (12)(3)>0 \]

Верно.

---

г) \((6+x)(3x-1)<0\)

Нули:

\[ 6+x=0 \Rightarrow x=-6 \]

\[ 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac13 \]

Коэффициент при \(x^2\) положительный, значит произведение отрицательно между корнями:

\[ \boxed{x\in\left(-6;\frac13\right)} \]

Проверка при \(x=0\):

\[ (6+0)(0-1)=-6<0 \]

Верно.

Итог:

\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{а) }(-24;13),\\ &\text{б) }\left[-\frac13;-\frac17\right],\\ &\text{в) }(-12;3),\\ &\text{г) }\left(-6;\frac13\right). \end{aligned} } \]