Доделай

Полное решение с нуля

Условие (восстанавливаю по нашей задаче): даны \(z_1 = 8 + 8\sqrt{3}\,i\) и \(z_2 = 8\). Нужно записать числа в тригонометрической форме и выполнить действия: \(z_1z_2\), \(\dfrac{z_1}{z_2}\), \(z_1^3\) (и \(z_2^3\)).

Шаг 1. Тригонометрическая форма \(z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\)

Для \(z_1 = 8 + 8\sqrt3\,i\) (\(a=8,\ b=8\sqrt3\)):

\[ r_1=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+192}=\sqrt{256}=16 \]

\[ \cos\varphi_1=\frac{a}{r_1}=\frac{8}{16}=\frac12,\qquad \sin\varphi_1=\frac{b}{r_1}=\frac{8\sqrt3}{16}=\frac{\sqrt3}{2}\ \Rightarrow\ \varphi_1=\frac{\pi}{3} \]

\[ \boxed{z_1 = 16\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)} \]

Для \(z_2 = 8 = 8 + 0\cdot i\):

\[ r_2=\sqrt{64+0}=8,\qquad \cos\varphi_2=1,\ \sin\varphi_2=0\ \Rightarrow\ \varphi_2=0 \]

\[ \boxed{z_2 = 8(\cos 0 + i\sin 0)} \]

Шаг 2. Умножение (модули перемножаем, аргументы складываем)

\[ z_1z_2 = r_1r_2\left(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right) \]

\[ z_1z_2 = 16\cdot 8\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=128\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right) \]

\[ \boxed{z_1z_2 = 64 + 64\sqrt3\,i} \]

Проверка: \(8\cdot(8+8\sqrt3 i)=64+64\sqrt3 i\) ✓

Шаг 3. Деление (модули делим, аргументы вычитаем)

\[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{16}{8}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}-0\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}-0\right)\right)=2\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right) \]

\[ \boxed{\frac{z_1}{z_2}=1+\sqrt3\,i} \]

Проверка: \((1+\sqrt3 i)\cdot 8 = 8+8\sqrt3 i\) ✓

Шаг 4. Возведение в степень (формула Муавра: \(z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)\))

\[ z_1^3 = 16^3\left(\cos\left(3\cdot\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(3\cdot\frac{\pi}{3}\right)\right)=4096(\cos\pi+i\sin\pi) \]

\[ \boxed{z_1^3 = -4096} \]

Проверка «в лоб»: \[ z_1^2=(8+8\sqrt3 i)^2=64+128\sqrt3 i-192=-128+128\sqrt3 i \] \[ z_1^3=(-128+128\sqrt3 i)(8+8\sqrt3 i)=-1024-3072+(-1024\sqrt3 i+1024\sqrt3 i)=-4096\ ✓ \]

Для второго числа аналогично:

\[ z_2^3=8^3(\cos 0+i\sin 0)=512 \]

Итог

Принцип: модуль \(r\) — это «длина» числа, аргумент \(\varphi\) — «поворот». Поэтому при умножении/делении/степени работаем отдельно с \(r\) и с \(\varphi\), а в алгебраическую форму возвращаемся через табличные \(\cos\) и \(\sin\).

Оформление «в тетрадь»

Дано: \[ z_1 = 8+8\sqrt3\,i,\qquad z_2 = 8 \]

Найти: тригонометрическую форму \(z_1\), \(z_2\); \(z_1z_2\), \(\dfrac{z_1}{z_2}\), \(z_1^3\), \(z_2^3\).

Решение.

Тригонометрическая форма: \(z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\), где \(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\cos\varphi=\dfrac{a}{r}\), \(\sin\varphi=\dfrac{b}{r}\).

1) \(z_1=8+8\sqrt3\,i\): \[ r_1=\sqrt{8^2+(8\sqrt3)^2}=\sqrt{64+192}=\sqrt{256}=16 \] \[ \cos\varphi_1=\frac{8}{16}=\frac12,\quad \sin\varphi_1=\frac{8\sqrt3}{16}=\frac{\sqrt3}{2}\ \Rightarrow\ \varphi_1=\frac{\pi}{3} \] \[ z_1=16\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right) \]

2) \(z_2=8=8+0\cdot i\): \[ r_2=\sqrt{8^2+0^2}=8,\quad \cos\varphi_2=1,\ \sin\varphi_2=0\ \Rightarrow\ \varphi_2=0 \] \[ z_2=8(\cos 0+i\sin 0) \]

3) Умножение: \(z_1z_2=r_1r_2\left(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right)\): \[ z_1z_2=16\cdot 8\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=128\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)=64+64\sqrt3\,i \]

4) Деление: \(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}\left(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right)\): \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{16}{8}\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)=1+\sqrt3\,i \]

5) Формула Муавра: \(z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)\): \[ z_1^3=16^3\left(\cos\frac{3\pi}{3}+i\sin\frac{3\pi}{3}\right)=4096(\cos\pi+i\sin\pi)=-4096 \] \[ z_2^3=8^3(\cos 0+i\sin 0)=512 \]

Ответ: \[ z_1=16\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right),\quad z_2=8(\cos 0+i\sin 0); \] \[ z_1z_2=128\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=64+64\sqrt3\,i; \] \[ \frac{z_1}{z_2}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=1+\sqrt3\,i; \] \[ z_1^3=4096(\cos\pi+i\sin\pi)=-4096;\qquad z_2^3=512. \]