Решм

По условию дана функция
\[ f(x)=-\frac{9x}{x^2-16}. \] Довожу исследование до конца.

1. Область определения

Знаменатель не равен нулю: \[ x^2-16\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne \pm4. \] Значит, \[ D(f)=(-\infty;-4)\cup(-4;4)\cup(4;+\infty). \]

2. Нули функции

\[ f(x)=0 \quad\Rightarrow\quad -9x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0. \] Точка пересечения с осями — \((0;0)\).

3. Чётность

\[ f(-x)=-\frac{-9x}{x^2-16}=\frac{9x}{x^2-16}=-f(x). \] Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат.

4. Промежутки знакопостоянства

\[ f(x)>0 \quad\text{на}\quad (-\infty;-4)\cup(0;4), \] \[ f(x)<0 \quad\text{на}\quad (-4;0)\cup(4;+\infty). \]

5. Асимптоты

Вертикальные асимптоты: \[ x=-4,\qquad x=4. \] Причём: \[ \lim_{x\to -4^-}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -4^+}f(x)=-\infty, \] \[ \lim_{x\to 4^-}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 4^+}f(x)=-\infty. \]

Горизонтальная асимптота: \[ \lim_{x\to \pm\infty} f(x)=0, \] то есть \(y=0\) — горизонтальная асимптота.

6. Производная и монотонность

\[ f'(x)=\frac{9(x^2+16)}{(x^2-16)^2}. \] Так как \(x^2+16>0\) и знаменатель в квадрате положителен, то \[ f'(x)>0 \] при всех \(x\) из области определения.

Значит, функция возрастает на каждом из промежутков: \[ (-\infty;-4),\quad (-4;4),\quad (4;+\infty). \] Точек экстремума нет.

7. Вторая производная

\[ f''(x)=-\frac{18x(x^2+48)}{(x^2-16)^3}. \] Точка перегиба: \[ x=0,\qquad f(0)=0. \] То есть точка перегиба — \((0;0)\).

8. График

График состоит из трёх ветвей:

• на \((-\infty;-4)\) функция возрастает от \(0\) до \(+\infty\);
• на \((-4;4)\) функция возрастает от \(-\infty\) до \(+\infty\), проходя через \((0;0)\);
• на \((4;+\infty)\) функция возрастает от \(-\infty\) до \(0\).

Вертикальные асимптоты — \(x=-4\) и \(x=4\), горизонтальная — \(y=0\).

Ответ

\[ D(f)=(-\infty;-4)\cup(-4;4)\cup(4;+\infty), \] \[ E(f)=\mathbb{R}. \] Нуль функции: \(x=0\).
Функция нечётная.
Асимптоты: \(x=-4,\ x=4,\ y=0\).
Функция возрастает на каждом промежутке области определения, экстремумов нет.
Точка перегиба — \((0;0)\).