Умножение векторов объясни

Кратко

В 9 классе под «умножением векторов» понимают два разных действия:

• вектор × число → получается вектор;
• вектор · вектор (скалярное произведение) → получается число.

Отдельного «векторного произведения» в школьной программе 9 класса нет.

1. Умножение вектора на число

Правило: $\lambda\vec a$ — это вектор, у которого

• длина $|\lambda|\cdot|\vec a|$;
• направление совпадает с $\vec a$, если $\lambda>0$, противоположно, если $\lambda<0$; при $\lambda=0$ получается нулевой вектор.

В координатах просто умножаем каждую координату:

$$\lambda(x;y)=(\lambda x;\ \lambda y)$$

Пример. $\vec a=(3;-2)$, тогда $-2\vec a=(-6;4)$: вектор стал вдвое длиннее и «развернулся».

Смысл: такое умножение только растягивает/сжимает вектор и, возможно, переворачивает его, но не уводит с той же прямой — векторы $\vec a$ и $\lambda\vec a$ коллинеарны.

2. Скалярное произведение

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|,|\vec b|\cos\varphi,$$

где $\varphi$ — угол между векторами, отложенными из одной точки.

В координатах ($\vec a=(x_1;y_1)$, $\vec b=(x_2;y_2)$):

$$\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2$$

Свойства: $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$; $(\lambda\vec a)\cdot\vec b=\lambda(\vec a\cdot\vec b)$; $(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$.

Что из этого следует:

• $\vec a\perp\vec b\iff \vec a\cdot\vec b=0$;
• $\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|,|\vec b|}$;
• $|\vec a|^2=\vec a\cdot\vec a=x^2+y^2$.

Проверка на примере

$\vec a=(3;-1)$, $\vec b=(2;5)$:

$$\vec a\cdot\vec b=3\cdot2+(-1)\cdot5=6-5=1.$$

$|\vec a|=\sqrt{10}$, $|\vec b|=\sqrt{29}$, значит $\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{290}}\approx0{,}059$, то есть $\varphi\approx86{,}6^\circ$. Почти прямой угол — и скалярное произведение действительно близко к нулю. Всё сходится.

Как решать похожее задание

1. Определи, что нужно в ответе: вектор — значит умножение на число; число, угол, перпендикулярность — значит скалярное произведение.
2. Переведи векторы в координаты.
3. Умножение на число — умножь обе координаты; скалярное — перемножь одноимённые координаты и сложи.
4. Нужен угол — формула косинуса; нужна перпендикулярность — приравняй скалярное произведение к нулю.