Реши задание на изображении
Краткий ответ
- \(f(x)=x^2-2x+8\) — парабола ветвями вверх.
Вершина: \((1;7)\), это точка минимума. Нулей нет, график целиком выше оси \(Ox\).
\[ D(f)=\mathbb R,\qquad E(f)=[7;+\infty). \]
\(g(x)=\frac13\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac13\cos 2x\) — синусоида с амплитудой \(\frac13\) и периодом \(\pi\).
\[
D(g)=\mathbb R,\qquad E(g)=\left[-\frac13;\frac13\right].
\]
- По графику: график определён при всех \(x\), проходит через \((0;0)\), имеет минимум \((-1;-4)\) и максимум \((1;4)\), нечётный; горизонтальная асимптота \(y=0\).
\[ D(y)=\mathbb R,\qquad E(y)=[-4;4]. \]
1. Исследование функции \(f(x)=x^2-2x+8\)
Область определения
\[ D(f)=\mathbb R. \]
Нули и ось \(Ox\)
\[ x^2-2x+8=0, \] \[ D=4-32=-28<0. \] Корней нет, значит график не пересекает ось \(Ox\). Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси \(Ox\).
Производная и монотонность
\[ f'(x)=2x-2=2(x-1). \] Критическая точка: \[ x=1. \]
Знак производной:
- при \(x<1\): \(f'(x)<0\) — функция убывает;
- при \(x>1\): \(f'(x)>0\) — функция возрастает.
Значит, \(x=1\) — точка минимума: \[ f(1)=1-2+8=7. \]
Отсюда: \[ E(f)=[7;+\infty). \]
Дополнительно для графика
\[ f(0)=8, \] ось симметрии параболы: \[ x=1. \] Вершина: \[ (1;7). \]
График — обычная парабола с вершиной \((1;7)\), проходящая через \((0;8)\) и симметричную точку \((2;8)\).
2. Исследование функции \(g(x)=\frac13\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)\)
Упростим: \[ \sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos 2x. \] Поэтому \[ g(x)=-\frac13\cos 2x. \]
Область определения и множество значений
\[ D(g)=\mathbb R. \] Так как \(|\cos 2x|\le 1\), то \[ E(g)=\left[-\frac13;\frac13\right]. \]
Период
\[ T=\frac{2\pi}{2}=\pi. \]
Нули функции
\[ -\frac13\cos 2x=0, \] \[ \cos 2x=0, \] \[ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k, \] \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb Z. \]
Экстремумы
Минимум: \[ g(x)=-\frac13 \] при \[ \cos 2x=1, \] то есть \[ x=\pi k. \]
Максимум: \[ g(x)=\frac13 \] при \[ \cos 2x=-1, \] то есть \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \]
Производная и монотонность
\[ g'(x)=\frac23\sin 2x. \] Производная равна нулю при \[ x=\frac{\pi k}{2}. \]
На одном периоде, например при \(0\le x\le \pi\):
- на \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) функция возрастает;
- на \(\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)\) функция убывает.
В общем виде: \[ \text{возрастает на }\left(\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right), \] \[ \text{убывает на }\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;\pi+\pi k\right). \]
Точки для построения графика
На одном периоде \(0\le x\le \pi\):
\[ \begin{array}{c|c} x & g(x)\\ \hline 0 & -\frac13\\ \frac{\pi}{4} & 0\\ \frac{\pi}{2} & \frac13\\ \frac{3\pi}{4} & 0\\ \pi & -\frac13 \end{array} \]
График — «перевёрнутая» косинусоида с периодом \(\pi\) и амплитудой \(\frac13\).
3. Исследование функции по графику
Судя по рисунку:
область определения: \[ D(y)=\mathbb R; \]
множество значений: \[ E(y)=[-4;4]; \]
нуль функции: \[ x=0; \]
при \(x<0\) график ниже оси \(Ox\), при \(x>0\) — выше: \[ y<0 \text{ при } x<0,\qquad y>0 \text{ при } x>0; \]
функция нечётная: график симметричен относительно начала координат;
функция убывает на \((-\infty;-1]\), возрастает на \([-1;1]\), убывает на \([1;+\infty)\);
минимум: \[ (-1;-4); \]
максимум: \[ (1;4); \]
горизонтальная асимптота: \[ y=0; \]
вертикальных асимптот нет.
Контрольные вопросы
Как найти промежутки возрастания и убывания?
Находят производную \(f'(x)\), точки, где \(f'(x)=0\) или не существует, и определяют знак \(f'(x)\) на промежутках. Если \(f'(x)>0\), функция возрастает; если \(f'(x)<0\) — убывает.Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
Находят значения функции в критических точках внутри отрезка и на его концах, затем выбирают наибольшее и наименьшее из них.Что находят с помощью второй производной?
Промежутки выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба. Также по знаку \(f''\) в критической точке можно определить, максимум это или минимум.Общая схема исследования функции:
область определения; нули и знаки; чётность/нечётность, периодичность; производная, критические точки, монотонность и экстремумы; вторая производная, выпуклость и точки перегиба; асимптоты; построение графика.
