Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(\cos A=\frac{21}{29}\approx0{,}724\),
   \(\sin A=\frac{20}{29}\approx0{,}690\),
   \(\operatorname{tg}A=\frac{20}{21}\approx0{,}952\).

2. \(S_{ABC}=6{,}3408\approx6{,}34\) кв. ед.

3. \(AC\approx8{,}03\),
   \(\angle A\approx55{,}7^\circ\),
   \(\angle C\approx68{,}3^\circ\).

Как решать

1. В прямоугольном треугольнике с прямым углом \(C\) гипотенуза — \(AB\).

\[ AB=\sqrt{BC^2+AC^2} =\sqrt{40^2+42^2} =\sqrt{1600+1764} =\sqrt{3364}=58 \]

Для угла \(A\):

• противолежащий катет \(BC=40\),
• прилежащий катет \(AC=42\),
• гипотенуза \(AB=58\).

\[ \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{40}{58}=\frac{20}{29} \]

\[ \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{42}{58}=\frac{21}{29} \]

\[ \operatorname{tg}A=\frac{BC}{AC}=\frac{40}{42}=\frac{20}{21} \]

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

\[ S=\frac12\cdot AC\cdot BC\cdot\sin C \]

\[ S=\frac12\cdot8\cdot6\cdot0{,}2642 =24\cdot0{,}2642 =6{,}3408 \]

3. Даны стороны \(AB=9\), \(BC=8\) и угол между ними \(\angle B=56^\circ\).

Сначала находим третью сторону \(AC\) по теореме косинусов:

\[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B \]

\[ AC^2=9^2+8^2-2\cdot9\cdot8\cdot\cos56^\circ \]

\[ AC^2\approx81+64-80{,}5238 \approx64{,}4762 \]

\[ AC\approx8{,}03 \]

Теперь находим угол \(A\):

\[ \cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} \]

\[ \cos A\approx\frac{81+64{,}4762-64}{2\cdot9\cdot8{,}03} \approx0{,}5637 \]

\[ \angle A\approx55{,}7^\circ \]

Третий угол:

\[ \angle C=180^\circ-56^\circ-55{,}7^\circ \approx68{,}3^\circ \]

Проверка:
\[ 56^\circ+55{,}7^\circ+68{,}3^\circ=180^\circ \]

Принцип: если в треугольнике известны две стороны и угол между ними, третью сторону находят по теореме косинусов, а неизвестные углы — по теореме косинусов или синусов. Сумма углов треугольника всегда \(180^\circ\).