Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3
\]
Как решать:
Выпишем коэффициенты: \[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \]
Найдём дискриминант: \[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]
Так как \(D>0\), корней два: \[ x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2} \]
Получаем: \[ x_1=\frac{5-1}{2}=2 \] \[ x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]
Проверка:
\[
2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0
\]
\[
3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0
\]
Есть и второй способ — по теореме Виета: \[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6 \] Этим условиям удовлетворяют числа \(2\) и \(3\).
Обсуждение
3 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Похоже, речь о формуле из третьего пункта — во втором пункте с дискриминантом икса как раз нет.
Откуда там \(x\):
\(x\) — это неизвестное число из самого уравнения \(x^2-5x+6=0\). Мы ищем, какое число можно подставить вместо \(x\), чтобы получилось \(0\). Формула корней как раз и выражает это неизвестное \(x\) через коэффициенты уравнения.
Покажу, откуда берётся формула:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
Разделим на \(a\):
\[ x^2+\frac ba x+\frac ca=0 \]
Выделим полный квадрат:
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \]
Но \(b^2-4ac\) — это дискриминант \(D\). Значит:
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{D}{4a^2} \]
Извлекаем корень:
\[ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt D}{2a} \]
Переносим \(\frac{b}{2a}\):
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]
То есть \(x\) ниоткуда не «появился» — это то же неизвестное из исходного уравнения. Формула просто позволяет его найти.
Для нашего уравнения:
\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6,\quad D=1 \]
Подставляем:
\[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt1}{2\cdot1} =\frac{5\pm1}{2} \]
Отсюда:
\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=0,\qquad 3^2-5\cdot3+6=0 \]
Значит, корни действительно \(2\) и \(3\).
Правило гар гор
