Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(f(x)=0\) при \(x=3\);
   \(f(x)<0\) при \(x<3\);
   \(f(x)>0\) при \(x>3\).
   Функция возрастает.

2. а) \(x^2-14x+45=(x-5)(x-9)\);
   б) \(3y^2+7y-6=(3y-2)(y+3)\).

3. \[ \frac{3p^2+p-2}{4-9p^2}= -\frac{p+1}{3p+2}, \] при \(p\ne \pm \frac23\).

4. По графику:
   нули функции: \(-2,\ 2,\ 6\);
   возрастает на \([0;4]\);
   убывает на \([-2;0]\) и \([4;6]\);
   область значений: \([-3;2]\).

5. Произведение наибольшее при
   \[ a=b=25. \]

---

Как это решается

1. Функция \(f(x)=17x-51\)

Решаем уравнение и неравенства:

\[ 17x-51=0 \Rightarrow 17x=51 \Rightarrow x=3. \]

\[ 17x-51<0 \Rightarrow 17x<51 \Rightarrow x<3. \]

\[ 17x-51>0 \Rightarrow x>3. \]

Коэффициент при \(x\) равен \(17>0\), поэтому линейная функция возрастает.

---

2. Разложение квадратного трёхчлена

Используем формулу:

\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), \]

где \(x_1,x_2\) — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).

а) \(x^2-14x+45\)

Найдём корни:

\[ D=(-14)^2-4\cdot1\cdot45=196-180=16, \]

\[ x_{1,2}=\frac{14\pm4}{2}. \]

\[ x_1=9,\quad x_2=5. \]

Значит:

\[ x^2-14x+45=(x-5)(x-9). \]

б) \(3y^2+7y-6\)

\[ D=7^2-4\cdot3\cdot(-6)=49+72=121, \]

\[ y_{1,2}=\frac{-7\pm11}{6}. \]

\[ y_1=\frac{4}{6}=\frac23,\quad y_2=-3. \]

Тогда:

\[ 3y^2+7y-6=3\left(y-\frac23\right)(y+3). \]

Удобнее записать без дроби:

\[ 3\left(y-\frac23\right)=3y-2. \]

Получаем:

\[ 3y^2+7y-6=(3y-2)(y+3). \]

---

3. Сокращение дроби

\[ \frac{3p^2+p-2}{4-9p^2}. \]

Числитель:

\[ 3p^2+p-2=(3p-2)(p+1). \]

Знаменатель:

\[ 4-9p^2=(2-3p)(2+3p). \]

Тогда:

\[ \frac{3p^2+p-2}{4-9p^2} = \frac{(3p-2)(p+1)}{(2-3p)(2+3p)}. \]

Заметим, что:

\[ 2-3p=-(3p-2). \]

Поэтому:

\[ \frac{(3p-2)(p+1)}{-(3p-2)(3p+2)} = -\frac{p+1}{3p+2}. \]

Ответ:

\[ -\frac{p+1}{3p+2}. \]

Важно: \(p\ne \frac23\) и \(p\ne -\frac23\), иначе знаменатель равен нулю.

---

4. Чтение графика функции

Нули функции — это точки, где график пересекает ось \(Ox\), то есть \(g(x)=0\).

По рисунку:

\[ x=-2,\quad x=2,\quad x=6. \]

Промежутки возрастания и убывания:

Смотрим, где график идёт вверх, а где вниз при движении слева направо.

• от \(-2\) до \(0\) график идёт вниз — функция убывает;
• от \(0\) до \(4\) график идёт вверх — функция возрастает;
• от \(4\) до \(6\) график идёт вниз — функция убывает.

Значит:

\[ \text{возрастает на }[0;4], \]

\[ \text{убывает на }[-2;0]\text{ и }[4;6]. \]

Область значений — все значения \(y\), которые принимает график.

Самая низкая точка:

\[ y_{\min}=-3. \]

Самая высокая точка:

\[ y_{\max}=2. \]

Поэтому:

\[ E(g)=[-3;2]. \]

---

5. Наибольшее произведение при сумме 50

Дано:

\[ a+b=50,\quad a>0,\ b>0. \]

Выразим \(b\):

\[ b=50-a. \]

Тогда произведение:

\[ P=ab=a(50-a)=50a-a^2. \]

Это квадратичная функция, график — парабола ветвями вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине.

\[ P=-a^2+50a. \]

Вершина параболы:

\[ a=\frac{-50}{2\cdot(-1)}=25. \]

Тогда:

\[ b=50-25=25. \]

Ответ:

\[ a=25,\quad b=25. \]

Можно проверить:

\[ 25\cdot25=625. \]

Если взять, например, \(24\) и \(26\):

\[ 24\cdot26=624, \]

то есть меньше.