Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1 = 2,\ x_2 = 3\).

Как рассуждать

Шаг 1. Вспомним, как устроено уравнение

Уравнение вида \(x^2 - 5x + 6 = 0\) — квадратное. Его удобно решать через теорему Виета: если корни существуют, то

\[ x_1 + x_2 = 5 \quad(\text{сумма корней}), \qquad x_1 \cdot x_2 = 6 \quad(\text{произведение корней}). \]

Шаг 2. Подберём два числа

Нужны два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6.

Проверяем пары, дающие в произведении 6: \(1\) и \(6\), \(2\) и \(3\).

• \(1 + 6 = 7\) — не подходит;
• \(2 + 3 = 5\) — подходит.

Значит, \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).

Шаг 3. Проверка подстановкой

\[ 2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \quad\checkmark \] \[ 3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \quad\checkmark \]

Оба корня верны.

Второй способ — через разложение на множители

Если сумма корней \(5\), а произведение \(6\), то

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). \]

Уравнение \((x-2)(x-3) = 0\) верно тогда, когда хотя бы одна скобка равна нулю: \(x = 2\) или \(x = 3\). Тот же результат.

Принцип, который стоит запомнить

Для уравнения \(x^2 + px + q = 0\) корни (если они целые) ищутся как два числа, дающие в сумме \(-p\), а в произведении \(q\). Это быстрее, чем считать дискриминант, и хорошо работает, когда корни целые. Если подобрать числа не удаётся, используют формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Для нашего уравнения \(D = 25 - 24 = 1\), и корни те же: \(\frac{5 \pm 1}{2}\), то есть \(2\) и \(3\).