Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$x_1 = 2,\quad x_2 = 3$

Как решать: способ 1 — по теореме Виета

Для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ (коэффициент при $x^2$ равен 1) корни удовлетворяют:

$$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q$$

У нас $p = -5$, $q = 6$, значит:

$$x_1 + x_2 = 5, \qquad x_1 \cdot x_2 = 6$$

Ищем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.

Способ 2 — разложение на множители

Если корни $x_1$ и $x_2$ найдены, то $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Проверим раскрытием скобок:

$$(x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6 \checkmark$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: $x - 2 = 0$ или $x - 3 = 0$.

Способ 3 — через дискриминант (работает всегда)

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}$$

$$x_1 = \frac{5+1}{2} = 3, \qquad x_2 = \frac{5-1}{2} = 2$$

Проверка

• $x = 2$: $4 - 10 + 6 = 0$ ✔
• $x = 3$: $9 - 15 + 6 = 0$ ✔

Принцип: у квадратного уравнения не больше двух корней. Виет и разложение на множители — быстрый путь, когда корни целые; дискриминант — универсальный, когда целых корней нет или они неочевидны.