Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Решаем через формулу корней квадратного уравнения:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).
- Находим дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]
- Так как \(D>0\), корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{5\pm1}{2} \]
- Получаем:
\[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2 \]
Проверка по теореме Виета:
\[ x_1+x_2=3+2=5,\qquad x_1x_2=3\cdot2=6 \]
Это совпадает с уравнением \(x^2-5x+6=0\), значит корни найдены верно.
\[ \boxed{x_1=2,\; x_2=3} \]
Обсуждение
4 сообщенияРеши через квадрат формулы
Ответ тот же: \(x_1=2,\ x_2=3\).
Решим выделением полного квадрата:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Перенесём \(6\):
\[ x^2-5x=-6 \]
Представим \(5x\) как \(2\cdot x\cdot \frac52\) и добавим \(\left(\frac52\right)^2\):
\[ x^2-5x+\left(\frac52\right)^2=-6+\left(\frac52\right)^2 \]
Слева получаем квадрат разности:
\[ \left(x-\frac52\right)^2=-6+\frac{25}{4} \]
\[ \left(x-\frac52\right)^2=-\frac{24}{4}+\frac{25}{4}=\frac14 \]
Извлекаем корень:
\[ x-\frac52=\pm \frac12 \]
Значит:
\[ x=\frac52\pm\frac12 \]
\[ x_1=\frac52+\frac12=3,\qquad x_2=\frac52-\frac12=2 \]
\[ \boxed{x_1=2,\quad x_2=3} \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Корни верные.
Не реши через формулу
Понял: без формулы корней. Решу разложением на множители.
Ищем два числа, которые:
- в произведении дают \(6\),
- в сумме дают \(5\).
Это \(2\) и \(3\), поэтому:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Уравнение принимает вид:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \]
Отсюда:
\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]
\[ \boxed{x_1=2,\; x_2=3} \]
Проверка: \[ 2^2-5\cdot2+6=0,\qquad 3^2-5\cdot3+6=0. \]
Корни верные.
