Реши примеры
Считаю, что ось \(x\) направлена по начальной скорости. Тогда отрицательное ускорение означает торможение.
1. Уравнение движения
\[ x=3t+0{,}2t^2 \]
Ответ:
\[
x_0=0\ \text{м},\quad v_{0x}=3\ \text{м/с},\quad a_x=0{,}4\ \text{м/с}^2
\]
\[
v_x(t)=3+0{,}4t
\]
Через \(5\) с:
\[
x(5)=3\cdot5+0{,}2\cdot25=20\ \text{м}
\]
\[
v_x(5)=3+0{,}4\cdot5=5\ \text{м/с}
\]
Почему так: сравниваем уравнение с общим видом
\[
x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2}
\]
Коэффициент при \(t\) — это \(v_{0x}\), а коэффициент при \(t^2\) — это \(\frac{a_x}{2}\). Скорость — производная координаты:
\[
v_x=x'=3+0{,}4t
\]
2. Средняя скорость мотоциклиста
Ответ:
\[
v_{\text{ср}}=50\ \text{км/ч}\approx13{,}9\ \text{м/с}
\]
Решение:
Весь путь:
\[
S=150+100=250\ \text{км}
\]
Всё время:
\[
t=4+1=5\ \text{ч}
\]
\[
v_{\text{ср}}=\frac{S}{t}=\frac{250}{5}=50\ \text{км/ч}
\]
Нельзя просто усреднять \(37{,}5\) и \(100\) км/ч: участки проходились разное время.
3. Равнозамедленное движение
Дано: \[ v_0=4\ \text{м/с},\quad v=2\ \text{м/с},\quad |a|=1\ \text{м/с}^2 \]
При торможении \(a_x=-1\ \text{м/с}^2\).
Ответ:
\[
t=2\ \text{с},\qquad s=6\ \text{м}
\]
Решение:
\[
v=v_0+a_xt
\]
\[
2=4-1\cdot t
\]
\[
t=2\ \text{с}
\]
Путь: \[ s=v_0t+\frac{a_xt^2}{2} \] \[ s=4\cdot2-\frac{1\cdot4}{2}=8-2=6\ \text{м} \]
4. Торможение троллейбуса
Переведём скорость: \[ 18\ \text{км/ч}=5\ \text{м/с} \]
Ответ:
\[
a_x=-1{,}25\ \text{м/с}^2
\]
модуль ускорения:
\[
|a|=1{,}25\ \text{м/с}^2
\]
Тормозной путь:
\[
s=10\ \text{м}
\]
Решение:
\[
a_x=\frac{v-v_0}{t}=\frac{0-5}{4}=-1{,}25\ \text{м/с}^2
\]
Путь: \[ s=\frac{v_0+v}{2}t=\frac{5+0}{2}\cdot4=10\ \text{м} \]
5. Движение по окружности
Ответ:
\[
a_{\text{ц}}\approx3{,}14\ \text{м/с}^2
\]
Точнее:
\[
a_{\text{ц}}=\pi\ \text{м/с}^2
\]
Решение:
Скорость:
\[
v=\frac{s}{t}=\frac{5}{2}=2{,}5\ \text{м/с}
\]
Угловая скорость: \[ \omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{5} \]
Центростремительное ускорение: \[ a_{\text{ц}}=\omega v=\frac{2\pi}{5}\cdot2{,}5=\pi\approx3{,}14\ \text{м/с}^2 \]
Что запомнить: при равнопеременном движении работают формулы
\[
v=v_0+at,\qquad s=v_0t+\frac{at^2}{2},\qquad \frac{v^2-v_0^2}{2a}=s
\]
а при движении по окружности
\[
a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{R}=\omega v
\]
