Номер 260
Краткий ответ
\[ \begin{aligned} \text{а)}\;&\frac53=1,(6)=1,666\ldots\\ \text{б)}\;&\frac7{30}=0,2(3)=0,2333\ldots\\ \text{в)}\;&\frac37=0,(428571)=0,428571428571\ldots\\ \text{г)}\;&-\frac58=-0,625(0)\quad(\text{или }-0,624(9))\\ \text{д)}\;&1,347=1,347(0)\quad(\text{или }1,346(9))\\ \text{е)}\;&-125=-125,(0)\quad(\text{или }-124,(9)) \end{aligned} \]
В скобках записывается период — цифры, которые повторяются бесконечно. В пункте б) читаю \(\frac{7}{30}\).
Как это получается
Нужно делить числитель на знаменатель «в столбик». Когда при делении повторяется остаток, начинают повторяться и цифры после запятой.
\(\frac53\):
\(5=1\cdot3+2\), затем \(20=6\cdot3+2\). Остаток \(2\) повторяется, поэтому: \[ \frac53=1,666\ldots=1,(6). \]\(\frac7{30}\):
\(70=2\cdot30+10\), затем \(100=3\cdot30+10\). Остаток \(10\) повторяется: \[ \frac7{30}=0,2333\ldots=0,2(3). \]\(\frac37\): при делении получаем цифры \(4,2,8,5,7,1\), потом остатки повторяются: \[ \frac37=0,428571428571\ldots=0,(428571). \]
Для конечных десятичных дробей деление заканчивается. Чтобы записать их «бесконечной» дробью, можно приписать бесконечные нули: \[ -\frac58=-0,625=-0,625000\ldots=-0,625(0). \] Аналогично: \[ 1,347=1,347(0),\qquad -125=-125,(0). \]
Иногда вместо периода из нулей используют период из девяток, потому что \(0,(9)=1\). Тогда: \[ -0,625=-0,624(9),\qquad 1,347=1,346(9),\qquad -125=-124,(9). \] Оба варианта обозначают одно и то же число; в классе обычно принимают тот, который записан в учебнике.
Проверка:
\[
0,2(3)=0,2+0,0(3)=\frac15+\frac1{30}=\frac7{30}.
\]
Всё сходится.
Обсуждение
3 сообщенияРеши все столиком
Столбиком*
Ниже — деление уголком. Когда после вычитания остаток повторяется, цифры в частном начинают повторяться — их записываем в скобках.
а) \(5:3\)
5,000000 │ 3
-3 │ 1,666…
───
20
-18
───
20
-18
───
20 …
\[ \frac53=1,666\ldots=1,(6) \]
б) \(7:30\)
7,000000 │ 30
-0 │ 0,233…
───
70
-60
───
10
100
-90
───
10
100
-90
───
10 …
\[ \frac7{30}=0,2333\ldots=0,2(3) \]
в) \(3:7\)
3,000000 │ 7
-0 │ 0,428571…
───
30
-28
───
2
20
-14
───
6
60
-56
───
4
40
-35
───
5
50
-49
───
1
10
-7
───
3
30 …
\[ \frac37=0,428571428571\ldots=0,(428571) \]
г) \(5:8\)
5,000000 │ 8
-0 │ 0,625…
───
50
-48
───
2
20
-16
───
4
40
-40
───
0
\[ -\frac58=-0,625000\ldots=-0,625(0) \]
д) \(1,347\)
Это уже десятичная дробь, делить столбиком не надо. Просто дописываем нули:
\[ 1,347=1,347000\ldots=1,347(0) \]
е) \(-125\)
Аналогично:
\[ -125=-125,000\ldots=-125,(0) \]
Ответ:
\[ \begin{aligned} \text{а)}&\quad 5/3=1,(6)\\ \text{б)}&\quad 7/30=0,2(3)\\ \text{в)}&\quad 3/7=0,(428571)\\ \text{г)}&\quad -5/8=-0,625(0)\\ \text{д)}&\quad 1,347=1,347(0)\\ \text{е)}&\quad -125=-125,(0) \end{aligned} \]
В некоторых учебниках конечную дробь записывают через период из девяток:
\[
-0,625=-0,624(9),\quad
1,347=1,346(9),\quad
-125=-124,(9).
\]
Но запись с \((0)\) тоже верная.
