Напиши шпоры для геометрии8-9 класс, просто, с разъяснением теорем и понятий,

Question 1

Задача Задача №3755298

А

Аноним

23 октября 2026 08:23 · публичный вопрос

А

Аноним 23 октября 2026 08:23

Напиши шпоры для геометрии8-9 класс, просто, с разъяснением теорем и понятий,

Answer

Шпоры по геометрии, 8–9 класс

Ниже — не «сухой список», а с пометкой почему это работает, чтобы формулы не приходилось зубрить вслепую.

8 класс

1. Четырёхугольники

Параллелограмм — противоположные стороны параллельны.

Свойства: противоположные стороны и углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам; сумма соседних углов $=180^\circ$.
Признаки: диагонали пересекаются и делятся пополам; или две стороны равны и параллельны. Логика признака: если диагонали делятся пополам, треугольники при диагоналях равны по двум сторонам и углу — значит, стороны параллельны.

Прямоугольник = параллелограмм + прямой угол ⇒ диагонали равны. Ромб = параллелограмм + все стороны равны ⇒ диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Квадрат — и то, и другое сразу.

Трапеция — две стороны параллельны (основания $a,b$), две — нет.

Средняя линия: $m=\dfrac{a+b}{2}$.
Равнобедренная: углы при основании равны, диагонали равны.

2. Площади

$$S_{\text{паралл}}=a h=ab\sin\alpha$$ $$S_{\triangle}=\tfrac12 a h=\tfrac12 ab\sin\gamma=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr=\frac{abc}{4R}$$ $$S_{\text{трап}}=\frac{a+b}{2},h,\qquad S_{\text{ромб}}=\tfrac12 d_1 d_2$$

где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной, $R$ — описанной окружности. Идея: любой треугольник достраивается до параллелограмма, поэтому площадь вдвое меньше.

3. Теорема Пифагора

$$c^2=a^2+b^2$$

Верна и обратная: если $c^2=a^2+b^2$, треугольник прямоугольный. Это рабочий способ проверять прямоугольность. Смысл: квадрат, построенный на гипотенузе, складывается из двух квадратов на катетах.

4. Подобие

Треугольники подобны, если: два угла равны; две стороны пропорциональны и угол между ними равен; три стороны пропорциональны.

Если коэффициент подобия $k$, то:

периметры относятся как $k$,
площади — как $k^2$ (обе стороны растут в $k$ раз).

Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине ($k=\tfrac12$).

5. Окружность и углы

Вписанный угол $=\tfrac12$ центрального угла (дуги), опирающегося на ту же дугу.
Угол, опирающийся на диаметр, $=90^\circ$.
Вписанные углы на одну дугу равны.
Касательная перпендикулярна радиусу; отрезки касательных из одной точки равны.
Пересекающиеся хорды: $AE\cdot BE=CE\cdot DE$.

Вписанная окружность: центр — пересечение биссектрис, $r=\dfrac{S}{p}$. Описанная: центр — пересечение серединных перпендикуляров, $R=\dfrac{abc}{4S}$.

Четырёхугольник: вписать окружность можно при $a+c=b+d$; описать — при сумме противоположных углов $180^\circ$.

9 класс

6. Векторы и координаты

$$\vec a+\vec b,\quad \vec a-\vec b,\quad k\vec a$$ $$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2=|\vec a||\vec b|\cos\varphi$$

Скалярное произведение $=0$ ⟺ векторы перпендикулярны.

Расстояние: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Середина: $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. Окружность: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.

7. Теоремы синусов и косинусов

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$ $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

Косинусная теорема — «Пифагор с поправкой»: если угол тупой, $\cos C<0$, и добавка становится плюсом. При $C=90^\circ$ получаем обычного Пифагора.

Значения: $\sin30^\circ=\tfrac12$, $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$.

8. Правильные многоугольники, окружность, круг

Угол правильного $n$-угольника: $\dfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.

$$C=2\pi R,\qquad l=\frac{\pi R\alpha}{180^\circ}$$ $$S_{\text{круга}}=\pi R^2,\qquad S_{\text{сектора}}=\frac{\pi R^2\alpha}{360^\circ}$$

Длина дуги и площадь сектора — это просто доля $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ от целого.

9. Движения

Осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос — сохраняют расстояния и углы, поэтому фигуры остаются равными.

Как этим пользоваться

Сначала выучи признаки (когда фигура — параллелограмм/ромб), потом свойства: в задачах чаще спрашивают именно признаки.
Любую площадь своди к треугольнику — там всего одна базовая формула $\tfrac12 ah$.
В задаче с окружностью сразу ищи вписанный угол и диаметр — половина задач решается этим.

Хочешь, разберём одну тему на конкретной задаче — так запомнится надёжнее.

Question 2

напиши шпоры для геометрии8-9 класс, просто, с разъяснением теорем и понятий,

Answer

# Шпоры по геометрии, 8–9 класс Ниже — не «сухой список», а с пометкой **почему это работает**, чтобы формулы не приходилось зубрить вслепую. --- ## 8 класс ### 1. Четырёхугольники **Параллелограмм** — противоположные стороны параллельны. - Свойства: противоположные стороны и углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам; сумма соседних углов $=180^\circ$. - Признаки: диагонали пересекаются и делятся пополам; или две стороны равны и параллельны. *Логика признака: если диагонали делятся пополам, треугольники при диагоналях равны по двум сторонам и углу — значит, стороны параллельны.* **Прямоугольник** = параллелограмм + прямой угол ⇒ **диагонали равны**. **Ромб** = параллелограмм + все стороны равны ⇒ **диагонали перпендикулярны и делят углы пополам**. **Квадрат** — и то, и другое сразу. **Трапеция** — две стороны параллельны (основания $a,b$), две — нет. - Средняя линия: $m=\dfrac{a+b}{2}$. - Равнобедренная: углы при основании равны, диагонали равны. ### 2. Площади $$S_{\text{паралл}}=a h=ab\sin\alpha$$ $$S_{\triangle}=\tfrac12 a h=\tfrac12 ab\sin\gamma=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr=\frac{abc}{4R}$$ $$S_{\text{трап}}=\frac{a+b}{2}\,h,\qquad S_{\text{ромб}}=\tfrac12 d_1 d_2$$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной, $R$ — описанной окружности. *Идея: любой треугольник достраивается до параллелограмма, поэтому площадь вдвое меньше.* ### 3. Теорема Пифагора $$c^2=a^2+b^2$$ Верна и **обратная**: если $c^2=a^2+b^2$, треугольник прямоугольный. Это рабочий способ проверять прямоугольность. *Смысл: квадрат, построенный на гипотенузе, складывается из двух квадратов на катетах.* ### 4. Подобие Треугольники подобны, если: два угла равны; две стороны пропорциональны и угол между ними равен; три стороны пропорциональны. Если коэффициент подобия $k$, то: - периметры относятся как $k$, - **площади — как $k^2$** (обе стороны растут в $k$ раз). Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине ($k=\tfrac12$). ### 5. Окружность и углы - Вписанный угол $=\tfrac12$ центрального угла (дуги), опирающегося на ту же дугу. - Угол, опирающийся на диаметр, $=90^\circ$. - Вписанные углы на одну дугу равны. - Касательная перпендикулярна радиусу; отрезки касательных из одной точки равны. - Пересекающиеся хорды: $AE\cdot BE=CE\cdot DE$. **Вписанная окружность:** центр — пересечение биссектрис, $r=\dfrac{S}{p}$. **Описанная:** центр — пересечение серединных перпендикуляров, $R=\dfrac{abc}{4S}$. Четырёхугольник: вписать окружность можно при $a+c=b+d$; описать — при сумме противоположных углов $180^\circ$. --- ## 9 класс ### 6. Векторы и координаты $$\vec a+\vec b,\quad \vec a-\vec b,\quad k\vec a$$ $$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2=|\vec a||\vec b|\cos\varphi$$ Скалярное произведение $=0$ ⟺ векторы перпендикулярны. Расстояние: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Середина: $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. Окружность: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. ### 7. Теоремы синусов и косинусов $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$ $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$ *Косинусная теорема — «Пифагор с поправкой»: если угол тупой, $\cos C<0$, и добавка становится плюсом. При $C=90^\circ$ получаем обычного Пифагора.* Значения: $\sin30^\circ=\tfrac12$, $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$. ### 8. Правильные многоугольники, окружность, круг Угол правильного $n$-угольника: $\dfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$. $$C=2\pi R,\qquad l=\frac{\pi R\alpha}{180^\circ}$$ $$S_{\text{круга}}=\pi R^2,\qquad S_{\text{сектора}}=\frac{\pi R^2\alpha}{360^\circ}$$ *Длина дуги и площадь сектора — это просто доля $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ от целого.* ### 9. Движения Осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос — **сохраняют расстояния и углы**, поэтому фигуры остаются равными. --- ## Как этим пользоваться 1. Сначала выучи **признаки** (когда фигура — параллелограмм/ромб), потом свойства: в задачах чаще спрашивают именно признаки. 2. Любую площадь своди к треугольнику — там всего одна базовая формула $\tfrac12 ah$. 3. В задаче с окружностью сразу ищи вписанный угол и диаметр — половина задач решается этим. Хочешь, разберём одну тему на конкретной задаче — так запомнится надёжнее.