Правила про рациональные числа
Кратко
Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби $\dfrac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное ($n \neq 0$). Все правила действий с такими числами — это правила действий с дробями плюс правила знаков.
1. Что попадает в рациональные числа
- целые числа: $5 = \dfrac{5}{1}$, $-3 = \dfrac{-3}{1}$, $0 = \dfrac{0}{1}$;
- конечные десятичные: $0{,}25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$;
- бесконечные периодические: $0{,}(3) = \dfrac{1}{3}$;
- обыкновенные дроби, в том числе отрицательные.
Не являются рациональными, например, $\sqrt{2}$ и $\pi$ — их нельзя записать дробью $\frac{m}{n}$.
2. Основное свойство дроби
$$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}, \quad k \neq 0$$
Отсюда сокращение: $\dfrac{15}{-35} = \dfrac{15 : 5}{-35 : 5} = \dfrac{3}{-7}$. Дробь можно сокращать только на общий множитель числителя и знаменателя.
Равенство дробей: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a\cdot d = b\cdot c$ (при $b, d \neq 0$). Проверка: $\dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12}$, так как $6\cdot 12 = 72 = 8 \cdot 9$. ✔
3. Знак дроби
$$\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}; \qquad \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$$
То есть минус можно ставить перед дробью, в числитель или в знаменатель — значение не меняется. А два минуса дают плюс.
4. Сравнение
Приводим к общему (положительному) знаменателю и сравниваем числители: $$\frac{a}{b} \ \text{и}\ \frac{c}{d}: \quad \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \iff ad > cb \quad (b, d > 0)$$
Пример: $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{3}{4}$ → $\dfrac{8}{12} < \dfrac{9}{12}$, значит $\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}$.
Полезно помнить: любое отрицательное число меньше любого положительного; из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше.
5. Действия
| Действие | Правило |
|---|---|
| Сложение/вычитание | $\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm cb}{bd}$ |
| Умножение | $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ |
| Деление | $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}$, $c \neq 0$ |
| Взаимные числа | $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a} = 1$, $a,b \neq 0$ |
Правила знаков те же, что для целых: $(-)\cdot(-) = (+)$, $(-)\cdot(+) = (-)$, $(-):(-) = (+)$.
6. Модуль
$|x|$ — расстояние от $x$ до $0$, поэтому $|x| \ge 0$, $|-x| = |x|$, $|x| = 0$ только при $x = 0$.
7. Проверка на примере
Вычислим $\dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{4}$:
$$\frac{2}{3} - \frac{3}{4} = \frac{2\cdot 4 - 3\cdot 3}{12} = \frac{8 - 9}{12} = -\frac{1}{12}$$
Проверка: $-\dfrac{1}{12} + \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ — вернулись к исходному числу, значит разность найдена правильно. ✔
Главная идея: любое рациональное число — это дробь, поэтому сводим всё к общему знаменателю и аккуратно следим за знаками. Числитель — целое число, знаменатель — всегда положительный.
Обсуждение
6 сообщенийМожешь пожалуйста мне рассказать правила минус на минус плюс и всё такое
1. Главное: «минус на минус даёт плюс» — это про умножение и деление
| Знаки | Умножение | Деление |
|---|---|---|
| $+ \cdot +$ | $+$ | $+$ |
| $+ \cdot -$ | $-$ | $-$ |
| $- \cdot +$ | $-$ | $-$ |
| $- \cdot -$ | $+$ | $+$ |
Коротко: знаки одинаковые → плюс, разные → минус.
Примеры: $$(-3)\cdot(-4) = 12, \qquad (-12):(-4) = 3, \qquad (-5)\cdot 2 = -10, \qquad 15:(-3) = -5$$
Если множителей много, считаем число минусов: чётное количество → результат положительный, нечётное → отрицательный. $$(-1)(-2)(-3) = -6 \quad (\text{три минуса}), \qquad (-1)(-2)(-3)(-4) = 24 \quad (\text{четыре})$$
2. Почему минус на минус — плюс
Это не «договорённость наоборот», а следствие обычных свойств действий. Возьмём заведомо верное равенство: $$3 \cdot (4 - 4) = 0$$ Раскроем скобки, не меняя смысла: $$3\cdot 4 + 3\cdot(-4) = 0 ;\Rightarrow; 12 + 3\cdot(-4) = 0 ;\Rightarrow; 3\cdot(-4) = -12$$ Значит, «плюс на минус» даёт минус. Теперь так: $$(-3)\cdot(4 - 4) = 0 ;\Rightarrow; (-3)\cdot 4 + (-3)\cdot(-4) = 0 ;\Rightarrow; -12 + (-3)\cdot(-4) = 0$$ Отсюда $(-3)\cdot(-4) = 12$. ✔
Бытовая модель: «минус» — это долг (убыток). Убрать долг (минус на минус) — значит прибавить себе денег: стало лучше, то есть плюс.
3. Осторожно: при сложении и вычитании правила ДРУГИЕ
Здесь «минус на минус плюс» напрямую не работает — работаем с модулями:
- знаки одинаковые — складываем модули, знак сохраняем: $$-5 + (-3) = -8, \qquad -7 - 4 = -11$$
- знаки разные — из большего модуля вычитаем меньший, ставим знак числа с бо́льшим модулем: $$-9 + 4 = -5, \qquad 9 + (-4) = 5, \qquad -2 + 7 = 5$$
Вычитание отрицательного — это прибавление: $$5 - (-3) = 5 + 3 = 8, \qquad -4 - (-9) = -4 + 9 = 5$$
4. Минус перед скобкой
Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри: $$-(a + b) = -a - b, \qquad -(a - b) = -a + b$$ $$7 - (2 - 5) = 7 - 2 + 5 = 10$$
Проверка: в скобках $2 - 5 = -3$, тогда $7 - (-3) = 7 + 3 = 10$. ✔ Совпало.
Двойной минус в записи просто исчезает: $-(-6) = 6$.
5. Как не путаться: решай по шагам
Пример: $-2 \cdot (3 - 7) + (-12):(-4)$
- Скобки: $3 - 7 = -4$
- Умножение: $(-2)\cdot(-4) = 8$
- Деление: $(-12):(-4) = 3$
- Сложение: $8 + 3 = 11$
Ответ: $11$.
Мнемоника: враг моего врага — мой друг (минус на минус — плюс), враг моего друга — мой враг (минус на плюс — минус).
Резюме: «минус на минус плюс» — только для умножения и деления и для раскрытия скобок; при сложении и вычитании сначала смотрим на модули и на знак большего по модулю числа.
Что такое рациональное число например одна целая одна целая ну короче дробь 1/7 сколько получится
Коротко
$1/7$ — да, это рациональное число. А «сколько получится» — если перевести в десятичную дробь, то
$$\frac{1}{7} = 0{,}142857142857\ldots = 0{,}(142857)$$
Точного конечного ответа нет: цифры повторяются бесконечно, период — $142857$.
Почему $1/7$ — рациональное число
Рациональное число — то, которое можно записать в виде $\dfrac{m}{n}$, где $m$ — целое, $n$ — натуральное. Здесь $m = 1$, $n = 7$ — всё подходит. Рациональными будут и $\dfrac{3}{4}$, и $-5$ (это $\frac{-5}{1}$), и $0{,}25$.
Как получилась десятичная запись
Делим 1 на 7 столбиком и следим за остатками:
| Шаг | Деление | Цифра | Остаток |
|---|---|---|---|
| 1 | $10 : 7$ | 1 | 3 |
| 2 | $30 : 7$ | 4 | 2 |
| 3 | $20 : 7$ | 2 | 6 |
| 4 | $60 : 7$ | 8 | 4 |
| 5 | $40 : 7$ | 5 | 5 |
| 6 | $50 : 7$ | 7 | 1 |
Остаток снова стал $1$ — значит, дальше цифры пойдут по кругу: $142857$. Получаем $0{,}142857142857\ldots$
Проверка: $0{,}(142857) \cdot 7 = 0{,}(999999) = 1$. ✔
Что полезно запомнить
- Рациональное число в десятичной записи всегда даёт либо конечную дробь ($\frac{1}{4} = 0{,}25$), либо периодическую ($\frac{1}{3} = 0{,}(3)$, $\frac{1}{7} = 0{,}(142857)$). Бесконечная непериодическая дробь рациональной не является.
- Приближённо: $\frac{1}{7} \approx 0{,}14$ (или $0{,}143$).
- Если ты имел в виду смешанное число $1\frac{1}{7}$, то это $\frac{8}{7} = 1{,}(142857)$ — тоже рациональное.
А в нечетном числе а минус остается или не остается
Коротко
Если минусов нечётное число — минус остаётся, результат отрицательный. Если чётное — минусов нет, результат положительный.
Умножение и деление нескольких чисел
Считаем, сколько всего минусов, и смотрим на чётность:
$$(-2)\cdot(-3)\cdot(-4) = -24 \quad (\text{3 минуса — нечётно, минус остался})$$ $$(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)\cdot(-5) = 120 \quad (\text{4 минуса — чётно, плюс})$$ $$(-2)\cdot 3 \cdot(-4) = 24$$ $$(-2)\cdot 3 \cdot 4 = -24 \quad (\text{1 минус — нечётно})$$
То же с делением: $(-24):(-3):(-2) = 8:(-2) = -4$ — минусов три, ответ отрицательный.
Степень отрицательного числа — то же правило
$$(-3)^2 = 9 \quad (\text{чётная степень — плюс})$$ $$(-3)^3 = -27 \quad (\text{нечётная степень — минус остаётся})$$ $$(-1)^{17} = -1, \qquad (-1)^{18} = 1$$
Важно не перепутать
При сложении и вычитании «нечётность минусов» не считается — там свои правила: $$-5 + (-3) = -8, \qquad -5 + 3 = -2, \qquad 5 + (-3) = 2$$
Итог: при умножении, делении и возведении в степень нечётное количество минусов оставляет минус, чётное — убирает его.
