Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точки D и E лежат соответственно на сторонах AB и BC, AD=CE. DC пересекает AE в точке O. Докажите, что треугольник AOC равнобедренный.

\[ DB=AB-AD=BC-CE=BE. \] Тогда \(\triangle ABE=\triangle CBD\) по двум сторонам и углу при вершине \(B\). Значит, \[ \angle BAE=\angle BCD. \] В равнобедренном \(\triangle ABC\) \[ \angle BAC=\angle BCA. \] Поэтому \[ \angle OAC=\angle EAC=\angle BAC-\angle BAE =\angle BCA-\angle BCD=\angle DCA=\angle OCA. \] В \(\triangle AOC\) углы при основании \(AC\) равны, следовательно, \[ OA=OC. \] То есть \(\triangle AOC\) — равнобедренный. Ч.т.д.