Решить номер 46
Краткий ответ:
а) \(\dfrac{(2a-2b)^2}{a-b}=4(a-b)\)
б) \(\dfrac{(3c+9d)^2}{c+3d}=9(c+3d)\)
в) \(\dfrac{(3x+6y)^2}{5x+10y}=\dfrac{9(x+2y)}{5}\)
г) \(\dfrac{4x^2-y^2}{(10x+5y)^2}=\dfrac{2x-y}{25(2x+y)}\)
Везде считаем, что знаменатель исходной дроби не равен нулю.
Как это делается
Главный принцип: числитель и знаменатель нужно разложить на множители, а затем сократить одинаковые множители. Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые.
а)
\[
(2a-2b)^2=\bigl(2(a-b)\bigr)^2=4(a-b)^2
\]
Тогда:
\[
\frac{4(a-b)^2}{a-b}=4(a-b)
\]
Ограничение: \(a\ne b\).
б)
\[
3c+9d=3(c+3d)
\]
\[
(3c+9d)^2=9(c+3d)^2
\]
Сокращаем на \(c+3d\):
\[
\frac{9(c+3d)^2}{c+3d}=9(c+3d)
\]
Ограничение: \(c+3d\ne 0\).
в)
\[
3x+6y=3(x+2y),\qquad 5x+10y=5(x+2y)
\]
\[
\frac{(3(x+2y))^2}{5(x+2y)}
=\frac{9(x+2y)^2}{5(x+2y)}
=\frac{9(x+2y)}{5}
\]
Ограничение: \(x+2y\ne 0\).
г)
Числитель раскладываем по формуле разности квадратов:
\[
4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y)
\]
Знаменатель:
\[
10x+5y=5(2x+y)
\]
\[
(10x+5y)^2=25(2x+y)^2
\]
Сокращаем на \(2x+y\):
\[
\frac{(2x-y)(2x+y)}{25(2x+y)^2}
=\frac{2x-y}{25(2x+y)}
\]
Ограничение: \(2x+y\ne 0\).
Проверка
- а) при \(a=3,\ b=1\): исходно \(\frac{4^2}{2}=8\), ответ \(4(3-1)=8\).
- б) при \(c=1,\ d=0\): исходно \(\frac{9^2}{1}=81\), ответ \(9(1+0)=9\) — здесь лучше взять \(c=0,d=1\): \(\frac{9^2}{3}=27\), ответ \(9\cdot3=27\).
- в) при \(x=1,\ y=0\): \(\frac{9^2}{5}=\frac{81}{5}\), ответ \(\frac{9\cdot1}{5}=\frac95\) — не сходится, потому что в числителе было \(3x+6y=3\), а не 9. Возьмём \(x=1,\ y=0\): исходно \(\frac{3^2}{5}=\frac95\), ответ \(\frac{9}{5}\).
- г) при \(x=1,\ y=0\): \(\frac{4}{100}=\frac1{25}\), ответ \(\frac{2}{25\cdot2}=\frac1{25}\).
