2-х _____ 5-х
Если нужно упростить дробь, то
\[ \frac{2-x}{5-x}=\frac{x-2}{x-5},\qquad x\ne 5. \]
Как это получить:
\[ 2-x=-(x-2),\quad 5-x=-(x-5). \]
Поэтому
\[ \frac{2-x}{5-x} = \frac{-(x-2)}{-(x-5)} = \frac{x-2}{x-5}. \]
Минус в числителе и минус в знаменателе «дают плюс».
Важно: здесь нельзя просто «зачеркнуть \(x\). \(x\) — не общий множитель, а часть разности.
Проверка: возьмём \(x=1\):
\[ \frac{2-1}{5-1}=\frac14, \qquad \frac{1-2}{1-5}=\frac{-1}{-4}=\frac14. \]
Результаты совпали. Значение \(x=5\) не подходит, потому что тогда знаменатель равен \(0\).
Обсуждение
2 сообщенияА как находить ОДЗ у таких дробей?
ОДЗ дроби — это все значения переменной, при которых дробь имеет смысл. Главное правило:
\[ \text{знаменатель} \ne 0. \]
Для вашей дроби
\[ \frac{2-x}{5-x} \]
Ставим условие:
\[ 5-x\ne 0 \]
\[ x\ne 5 \]
Значит,
\[ \text{ОДЗ: } x\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty) \]
То есть подставлять можно любые числа, кроме \(5\).
Почему числитель не важен?
Если числитель равен нулю, дробь просто равна нулю — это допустимо. Например, при \(x=2\):
\[ \frac{2-2}{5-2}=\frac03=0 \]
А при \(x=5\) знаменатель обращается в ноль, поэтому дробь не имеет смысла.
Общий порядок
- Найти знаменатель.
- Приравнять его к нулю.
- Найти недопустимые значения переменной.
- Исключить их из всех чисел.
- Записать ответ.
Пример:
\[ \frac{x+1}{x^2-9} \]
\[ x^2-9\ne0 \]
\[ x\ne 3,\quad x\ne -3 \]
\[ \text{ОДЗ: } x\in(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty) \]
Важно: если дробь сократили, исходные ограничения всё равно нужно учитывать. Например,
\[ \frac{x^2-1}{x-1}=x+1,\quad x\ne1. \]
