140

Краткий ответ:

а) \(x\in(-6;\,5)\)
б) \(x\in(-\infty;\,-8{,}8)\cup(1{,}4;\,+\infty)\)
в) \(x\in(-\infty;\,0)\cup(1{,}6;\,+\infty)\)
г) \(x\in(-\infty;\,0{,}3)\cup(4;\,+\infty)\)

Как решать такие неравенства

Дробь \(\dfrac{A}{B}\) меняет знак только там, где \(A=0\) или \(B=0\).
При этом знаменатель не может быть равен нулю, поэтому его нули всегда выкалываются. Неравенства строгие, значит нули числителя тоже не включаем.

Нельзя просто умножать на знаменатель: его знак зависит от \(x\).

а)
\[ \frac{x-5}{x+6}<0 \] Нули: \(x=5\), \(x=-6\).
Знаки на интервалах:

\[ (- \infty;-6):+,\quad (-6;5):-,\quad (5;+\infty):+ \]

Нужен знак «минус», поэтому:

\[ x\in(-6;5) \]

б)
\[ \frac{1{,}4-x}{x+8{,}8}<0 \] Нули: \(x=1{,}4\), \(x=-8{,}8\).
Знаки:

\[ (- \infty;-8{,}8):-,\quad (-8{,}8;1{,}4):+,\quad (1{,}4;+\infty):- \]

Нужен знак «минус»:

\[ x\in(-\infty;-8{,}8)\cup(1{,}4;+\infty) \]

в)
\[ \frac{2x}{x-1{,}6}>0 \] Нули: \(x=0\), \(x=1{,}6\).
Знаки:

\[ (- \infty;0):+,\quad (0;1{,}6):-,\quad (1{,}6;+\infty):+ \]

Нужен знак «плюс»:

\[ x\in(-\infty;0)\cup(1{,}6;+\infty) \]

г)
\[ \frac{5x-1{,}5}{x-4}>0 \] Нуль числителя: \[ 5x-1{,}5=0 \Rightarrow x=0{,}3 \] Нуль знаменателя: \(x=4\).
Знаки:

\[ (-\infty;0{,}3):+,\quad (0{,}3;4):-,\quad (4;+\infty):+ \]

Нужен знак «плюс»:

\[ x\in(-\infty;0{,}3)\cup(4;+\infty) \]

Проверка: например, в пункте а) при \(x=0\): \(\frac{-5}{6}<0\) — верно; в пункте г) при \(x=1\): \(\frac{3{,}5}{-3}<0\), значит \(1\) не входит в ответ — так и должно быть.