Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).
Как решить
Уравнение: \[ x^2-5x+6=0 \]
Способ 1. Разложение на множители
Нужно найти два числа, которые:
- в произведении дают \(6\);
- в сумме дают \(5\).
Это числа \(2\) и \(3\), поэтому: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
Отсюда: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]
Способ 2. Через дискриминант
\[ D=b^2-4ac \] где \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).
\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]
Корни: \[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2} \]
Значит: \[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]
Проверка
Подставим \(x=2\): \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
Подставим \(x=3\): \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Главный принцип: квадратное уравнение можно решить разложением на множители, если удаётся подобрать числа по сумме и произведению; универсальный способ — через дискриминант.
Обсуждение
4 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Скорее всего, вопрос про строку:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
\(x\) здесь — это не новое число. Это та же самая неизвестная переменная, которая была в исходном уравнении. Мы её ниоткуда не добавляли.
Почему появляются скобки \((x-2)\) и \((x-3)\)
Нам нужны такие множители, чтобы при их перемножении получилось:
\[ x^2-5x+6 \]
Проверим раскрытием скобок:
\[ (x-2)(x-3)=x(x-3)-2(x-3) \]
\[ =x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
То есть выражения равны. Поэтому уравнение
\[ x^2-5x+6=0 \]
можно записать так:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Что это даёт
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]
То есть \(x\) остаётся переменной, а числа \(2\) и \(3\) — это значения, при которых соответствующая скобка обращается в ноль.
Можно запомнить так: если корни \(2\) и \(3\), то множители имеют вид
\[ (x-2)\quad\text{и}\quad(x-3). \]
Именно потому, что при \(x=2\) первая скобка равна нулю, а при \(x=3\) — вторая.
сделай фото
Фото создать не могу, но вот решение в удобном виде — можно переписать на лист и сфотографировать.
\[ x^2-5x+6=0 \]
Разложим на множители. Нужны числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении \(6\). Это \(2\) и \(3\):
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Тогда:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]
Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).
