Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_1 = 2,\; x_2 = 3\).
Как к этому прийти
Способ 1. Разложение на множители (по теореме Виета)
Для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). У нас \(p = -5\), \(q = 6\), значит:
\[ x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6 \]
Подбираем числа: это \(2\) и \(3\), так как \(2 + 3 = 5\) и \(2 \cdot 3 = 6\).
Значит, квадратный трёхчлен раскладывается так:
\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]
Проверим раскрытием скобок: \(x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6\) — всё верно.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2, \qquad x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \]
Способ 2. Через дискриминант
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]
\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3,\qquad x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]
Проверка
- \(2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\) ✓
- \(3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\) ✓
Принцип: для уравнения \(x^2 + px + q = 0\) ищем два числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\) — это и есть корни. Если подобрать трудно, всегда выручает дискриминант.
Обсуждение
2 сообщения5^2=25
Да, всё верно: \(5^2 = 25\). И это как раз ключевой момент в дискриминанте.
В формуле \(D = b^2 - 4ac\) коэффициент \(b = -5\), но при возведении в квадрат минус исчезает:
\[ b^2 = (-5)^2 = (-5)\cdot(-5) = 25 \]
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому знак \(b\) на дискриминант не влияет — важно только \(25\).
Дальше всё сходится:
\[ D = 25 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = 3,\quad x_2 = 2 \]
Обрати внимание: в числителе стоит \(-b = -(-5) = 5\), поэтому перед корнем плюс-минус берётся от положительного числа. Итог тот же: 2 и 3.
