Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Коротко: теорема Виета — это не отдельное «волшебное» правило, а следствие разложения квадратного трёхчлена на множители и сравнения коэффициентов.

Формулировка

Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\) с корнями \(x_1\) и \(x_2\):

\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}. \]

Для приведённого \(x^2+px+q=0\) (\(a=1\)):

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \]

Почему это верно: главная идея

Шаг 1. Если \(x_1\) — корень, то многочлен делится на \((x-x_1)\).

Разделим \(ax^2+bx+c\) на \(x-x_1\) с остатком:

\[ ax^2+bx+c=(x-x_1)\cdot Q(x)+r. \]

Степень остатка меньше степени делителя, значит \(r\) — просто число. Подставим \(x=x_1\):

\[ \underbrace{ax_1^2+bx_1+c}_{=\,0}=(x_1-x_1)\cdot Q(x_1)+r \;\Rightarrow\; r=0. \]

Остатка нет — деление нацело. Значит, второй множитель тоже первой степени, и

\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \]

Шаг 2. Раскроем скобки:

\[ a(x-x_1)(x-x_2)=a\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr) =ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2. \]

Шаг 3. Сравним коэффициенты с \(ax^2+bx+c\) (у равных многочленов коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) совпадают):

\[ b=-a(x_1+x_2),\qquad c=ax_1x_2. \]

Отсюда и получаются обе формулы:

\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}. \]

Тот же результат «в лоб», через дискриминант

Если \(D=b^2-4ac\), то

\[ x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt D}{2a}+\frac{-b-\sqrt D}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}, \]

\[ x_1x_2=\frac{(-b+\sqrt D)(-b-\sqrt D)}{4a^2} =\frac{b^2-D}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}. \]

То есть Виет — это просто «упакованная» формула корней. Удобство в том, что она работает и при \(D=0\) (тогда \(x_1=x_2\)), и позволяет обходиться без вычисления \(\sqrt D\).

Как это применяется

В прошлом уравнении \(x^2-5x+6=0\): здесь \(p=-5\), \(q=6\), значит нужны числа с суммой \(5\) и произведением \(6\) — это \(2\) и \(3\). Именно так мы и разложили трёхчлен.

Обратная теорема (её тоже часто используют): если числа \(m\) и \(n\) таковы, что \(m+n=-p\) и \(mn=q\), то они — корни уравнения \(x^2+px+q=0\). Она следует из того же разложения: \(x^2+px+q=x^2-(m+n)x+mn=(x-m)(x-n)\).

Полезные следствия, которые экономят время: если \(a+b+c=0\), то один корень равен \(1\), а второй \(\frac{c}{a}\); если \(a-b+c=0\), то корни \(-1\) и \(-\frac{c}{a}\).

Хочешь, дам 2–3 коротких уравнения для тренировки — на «угадывание корней» по Виету и на эти следствия?

1. Коротко: почему работает теорема Виета

Теорема Виета — это простая арифметика скобок. Возьмём пример:

\[ x^2-7x+12=0 \]

Его корни — \(3\) и \(4\). Тогда

\[ (x-3)(x-4)=x^2-3x-4x+12=x^2-\underbrace{(3+4)}_{7}x+\underbrace{3\cdot 4}_{12}. \]

То есть сумма корней \(3+4=7\) оказалась коэффициентом при \(x\) (с минусом), а произведение \(3\cdot4=12\) — свободным членом. Это и есть теорема Виета:

\[ (x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2, \]

сравниваем с \(x^2+px+q\) и получаем \(x_1+x_2=-p\), \(x_1x_2=q\).

Почему так можно делать? Потому что если \(x_1\) — корень, то многочлен делится на \((x-x_1)\) без остатка, и остаётся второй множитель \((x-x_2)\). А при раскрытии скобок сумма и произведение корней автоматически «превращаются» в коэффициенты. Никакого отдельного чуда — просто раскрытие скобок.

2. Пример для 5 класса: главные правила

Сразу уточню: «все правила» 5 класса — это целый учебник (натуральные числа, дроби, десятичные дроби, уравнения, проценты, геометрия). Вот основные правила с мини-примерами:

Комбинированный пример «на всё сразу»:

\[ (0{,}25+0{,}75)\cdot3-\frac{1}{2}\cdot4 \]

1. \(0{,}25+0{,}75=1\);
2. \(1\cdot3=3\);
3. \(\frac12\cdot4=2\);
4. \(3-2=1\).

Ответ: \(1\).

3. Уточнение

Теорема Виета — это 8 класс, в 5 классе её не проходят (но идея со скобками понятна уже сейчас). А по 5 классу скажи, какая именно тема нужна: обыкновенные дроби, десятичные дроби, уравнения, проценты или геометрия? Тогда дам примеры именно по ней.