Реши номер 1
Краткий ответ
А) НОД(16; 64) = 16 Б) НОД(76; 114) = 38 В) НОД(27; 72; 108) = 9
Как это получается
НОД — наибольшее число, на которое каждое из чисел делится без остатка. Универсальный способ: разложить числа на простые множители, взять общие множители в наименьших степенях.
А) 16 и 64 \[ 16=2^4,\qquad 64=2^6 \] Общий множитель — только \(2\), берём меньшую степень: \[ 2^{\min(4;6)}=2^4=16 \] Ещё проще заметить: \(64=16\cdot 4\), то есть меньшее число делит большее, — значит НОД равен меньшему, то есть 16.
Б) 76 и 114 \[ 76=4\cdot 19=2^2\cdot 19,\qquad 114=2\cdot 57=2\cdot 3\cdot 19 \] Общие множители: \(2\) и \(19\). Берём по первой степени: \[ 2\cdot 19=38 \] Проверка: \(76:38=2\), \(114:38=3\). Числа 2 и 3 взаимно простые, поэтому больше общего делителя нет.
В) 27, 72 и 108 \[ 27=3^3,\qquad 72=2^3\cdot 3^2,\qquad 108=2^2\cdot 3^3 \] Во всех трёх разложениях есть только \(3\); наименьшая степень — вторая: \[ 3^2=9 \] Проверка: \(27:9=3\), \(72:9=8\), \(108:9=12\). У чисел 3, 8, 12 общего делителя больше 1 нет, значит 9 — наибольший.
Алгоритм для похожего задания
- Разложи каждое число на простые множители.
- Выпиши простые числа, которые есть во всех разложениях.
- Каждый такой множитель возьми в наименьшей степени.
- Перемножь — это НОД.
Быстрый ориентир: НОД всегда не больше самого маленького из чисел, поэтому ответ проверяй на «вписывается ли он в меньшее число».
Обсуждение
4 сообщенияРеши 2 номер
Реши 2 номер
Ответ
Числа 969 и 364 — взаимно простые, потому что их наибольший общий делитель равен 1: \[ \text{НОД}(969;364)=1 \]
Доказательство
Разложим числа на простые множители: \[ 969=3\cdot 323=3\cdot 17\cdot 19 \] \[ 364=4\cdot 91=2^2\cdot 7\cdot 13 \]
Теперь сравним разложения:
- в разложении 969 есть множители \(3, 17, 19\);
- в разложении 364 есть множители \(2, 7, 13\).
Общих простых множителей нет. Значит, общий делитель у этих чисел только 1, поэтому \[ \text{НОД}(969;364)=1. \]
Следовательно, числа 969 и 364 взаимно простые, что и требовалось доказать.
Проверка по алгоритму Евклида: \[ 969=2\cdot 364+241 \] \[ 364=1\cdot 241+123 \] Последний ненулевой остаток при продолжении алгоритма получится равным 1, то есть \(\text{НОД}=1\). Это подтверждает вывод.
Номер 2
Нужно доказать: числа \(969\) и \(364\) взаимно простые.
Числа взаимно простые, если их наибольший общий делитель равен \(1\).
Разложим оба числа на простые множители:
\[ 969=3\cdot 323=3\cdot 17\cdot 19 \]
\[ 364=4\cdot 91=2^2\cdot 7\cdot 13 \]
Получаем:
\[ 969=3\cdot17\cdot19 \]
\[ 364=2^2\cdot7\cdot13 \]
В разложениях нет ни одного общего простого множителя. Значит,
\[ \text{НОД}(969;364)=1 \]
Вывод: числа \(969\) и \(364\) взаимно простые, что и требовалось доказать.
