Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(z_1=1-4i\), \(z_2=3+i\).
   На плоскости: \(z_1=(1;-4)\), \(z_2=(3;1)\).
   \(|z_1|=\sqrt{17}\), \(|z_2|=\sqrt{10}\).
   \(z_1+z_2=4-3i\), \(z_1-z_2=-2-5i\),
   \(z_1z_2=7-11i\), \(\dfrac{z_1}{z_2}=-\dfrac{1}{10}-\dfrac{13}{10}i\).

2. \(3x^2-4x+1=0\): \(x_1=1,\ x_2=\dfrac13\).
   \(x^2=-31\): \(x=\pm i\sqrt{31}\).
   \(x^2=-16\): \(x=\pm 4i\).

3. \[ C=3B=\begin{pmatrix}9&-12\\-21&3\end{pmatrix},\quad D=\frac12A=\begin{pmatrix} 1&-\frac12&0\\ -\frac32&\frac12&-1\\ \frac12&\frac32&-\frac12 \end{pmatrix}, \] \[ M=-4B=\begin{pmatrix}-12&16\\28&-4\end{pmatrix}. \] \[ |A|=15,\qquad |B|=-25. \]

4. Система: \[ x=-2,\quad y=1,\quad z=3. \]

Внизу ещё уравнение с определителем: \[ \begin{vmatrix}x&5\\-2&1\end{vmatrix}=-3 \Rightarrow x=-13. \]

Как это получается

1. Комплексные числа

Комплексное число \(z=a+bi\) изображается точкой \((a;b)\): по горизонтали действительная часть, по вертикали мнимая. Поэтому \(z_1\) — точка \((1;-4)\), \(z_2\) — точка \((3;1)\).

Модуль: \[ |z|=\sqrt{a^2+b^2}. \] Значит, \[ |z_1|=\sqrt{1^2+(-4)^2}=\sqrt{17}, \] \[ |z_2|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}. \]

Сложение и вычитание — по отдельности действительные и мнимые части: \[ z_1+z_2=(1+3)+(-4+1)i=4-3i, \] \[ z_1-z_2=(1-3)+(-4-1)i=-2-5i. \]

Умножение как обычное раскрытие скобок, только \(i^2=-1\): \[ z_1z_2=(1-4i)(3+i)=3+i-12i-4i^2= \] \[ =3-11i+4=7-11i. \]

Деление выполняют умножением на сопряжённое: \[ \frac{1-4i}{3+i}=\frac{(1-4i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} =\frac{-1-13i}{10}. \] То есть \[ \frac{z_1}{z_2}=-\frac{1}{10}-\frac{13}{10}i. \]

2. Квадратные уравнения

Для \(3x^2-4x+1=0\): \[ D=(-4)^2-4\cdot3\cdot1=16-12=4, \] \[ x_{1,2}=\frac{4\pm2}{6}. \] Отсюда \[ x_1=1,\qquad x_2=\frac13. \] Корни действительные, но это не противоречит решению «в комплексных числах».

Для уравнений вида \(x^2=-a\), где \(a>0\): \[ x=\pm i\sqrt a. \] Поэтому: \[ x^2=-31 \Rightarrow x=\pm i\sqrt{31}, \] \[ x^2=-16 \Rightarrow x=\pm 4i. \]

3. Матрицы

При умножении матрицы на число умножается каждый элемент: \[ 3B=\begin{pmatrix}3\cdot3&3\cdot(-4)\\3\cdot(-7)&3\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9&-12\\-21&3\end{pmatrix}. \]

Аналогично: \[ \frac12A= \begin{pmatrix} 1&-\frac12&0\\ -\frac32&\frac12&-1\\ \frac12&\frac32&-\frac12 \end{pmatrix}. \]

И \[ -4B=\begin{pmatrix}-12&16\\28&-4\end{pmatrix}. \]

Определитель матрицы \(B\): \[ |B|=\begin{vmatrix}3&-4\\-7&1\end{vmatrix} =3\cdot1-(-4)(-7)=3-28=-25. \]

Определитель \(A\) по правилу треугольника: \[ |A|=2\cdot1\cdot(-1)+(-1)(-2)\cdot1+0\cdot(-3)\cdot3 \] \[ -\bigl(0\cdot1\cdot1+2(-2)\cdot3+(-1)(-3)(-1)\bigr)=15. \]

Проверим по теореме Лапласа по третьей строке. Миноры: \[ M_{31}=\begin{vmatrix}-1&0\\1&-2\end{vmatrix}=2, \] \[ M_{32}=\begin{vmatrix}2&0\\-3&-2\end{vmatrix}=-4, \] \[ M_{33}=\begin{vmatrix}2&-1\\-3&1\end{vmatrix}=-1. \] Знаки алгебраических дополнений в третьей строке: \(+, -, +\), поэтому \[ A_{31}=2,\quad A_{32}=4,\quad A_{33}=-1. \] Тогда \[ |A|=1\cdot2+3\cdot4+(-1)(-1)=2+12+1=15. \] Оба способа дали \(15\), значит всё верно.

4. Метод Крамера

Система: \[ \begin{cases} x-y+z=0,\\ 2x+2y+z=1,\\ y-z=-2. \end{cases} \] Матрица коэффициентов: \[ A=\begin{pmatrix} 1&-1&1\\ 2&2&1\\ 0&1&-1 \end{pmatrix}. \] Сначала главный определитель: \[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&-1&1\\ 2&2&1\\ 0&1&-1 \end{vmatrix}=-3. \] Так как \(\Delta\neq0\), система имеет единственное решение.

По методу Крамера заменяем столбец при нужной переменной столбцом свободных членов: \[ \Delta_x= \begin{vmatrix} 0&-1&1\\ 1&2&1\\ -2&1&-1 \end{vmatrix}=6, \] \[ \Delta_y= \begin{vmatrix} 1&0&1\\ 2&1&1\\ 0&-2&-1 \end{vmatrix}=-3, \] \[ \Delta_z= \begin{vmatrix} 1&-1&0\\ 2&2&1\\ 0&1&-2 \end{vmatrix}=-9. \] Тогда \[ x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac6{-3}=-2, \] \[ y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-3}{-3}=1, \] \[ z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{-9}{-3}=3. \]

Проверка: \[ -2-1+3=0, \] \[ 2(-2)+2\cdot1+3=1, \] \[ 1-3=-2. \] Всё сходится.

Дополнительное уравнение с определителем

\[ \begin{vmatrix}x&5\\-2&1\end{vmatrix}=-3. \] Вычисляем определитель: \[ x\cdot1-5\cdot(-2)=x+10. \] Значит, \[ x+10=-3, \] \[ x=-13. \] Проверка: \[ \begin{vmatrix}-13&5\\-2&1\end{vmatrix}=-13+10=-3. \]