Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x^2-5x+6=0
\]
имеет два корня:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3
\]
Как понять решение
Разложим выражение на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \] Проверим раскрытием скобок: \[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \] Всё совпало.
Теперь уравнение выглядит так: \[ (x-2)(x-3)=0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Значит: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \] Отсюда: \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3 \]
Проверка
Для \(x=2\): \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
Для \(x=3\): \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Главная идея: если квадратное выражение удаётся разложить на скобки, то уравнение решается очень просто — приравниваем каждую скобку к нулю.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Разберём именно этот переход:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Откуда здесь \(x\)?
Потому что \(x^2\) — это \(x\cdot x\). Значит, чтобы при раскрытии скобок получить \(x^2\), в каждой скобке должно быть по \(x\):
\[ (x\ \ ?)(x\ \ ?) \]
Теперь остаётся подобрать числа. Раскроем скобки в общем виде:
\[ (x-2)(x-3)=x\cdot x-x\cdot3-2\cdot x+2\cdot3 \]
Считаем:
\[ =x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Получилось ровно исходное выражение. Поэтому
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
То есть \(x\) ниоткуда не «добавился» — он был в исходном уравнении, ведь \(x^2=x\cdot x\).
Дальше используем правило:
Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
У нас:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Значит, возможны два случая:
- \(x-2=0\), отсюда \(x=2\).
- \(x-3=0\), отсюда \(x=3\).
Проверим на числах:
- при \(x=2\): \((2-2)(2-3)=0\cdot(-1)=0\);
- при \(x=3\): \((3-2)(3-3)=1\cdot0=0\).
Оба значения обращают уравнение в ноль, поэтому ответ:
\[ \boxed{x_1=2,\quad x_2=3} \]
Коротко: \(x^2\) «собирается» из \(x\cdot x\), поэтому в каждой скобке стоит \(x\), а числа \(2\) и \(3\) подобраны так, чтобы при раскрытии скобок получилось \(-5x\) и \(+6\).
