Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$x_1 = 2,\quad x_2 = 3$ (оба корня подходят).

Как это устроено

Шаг 1. Замечаем закономерность. Уравнение вида $x^2 + px + q = 0$ можно разложить на множители:

$$x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$$

Если раскрыть скобки, получится $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2$. Сравниваем с нашим уравнением $x^2 - 5x + 6$:

• сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$;
• произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6$.

Шаг 2. Подбираем два числа. Из произведения $6$ подходят пары: $1$ и $6$, $2$ и $3$ (и такие же с минусами). Проверяем сумму: $1+6 = 7$ — не то; $2+3 = 5$ — подходит.

Шаг 3. Записываем разложение.

$$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0$$

Шаг 4. Используем правило произведения. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$x - 2 = 0 ;\Rightarrow; x = 2; \qquad x - 3 = 0 ;\Rightarrow; x = 3.$$

Проверка

• $x = 2$: $;4 - 10 + 6 = 0$ ✓
• $x = 3$: $;9 - 15 + 6 = 0$ ✓

Полезно знать

Есть и «универсальный» способ — через дискриминант (он пригодится в старших классах): $D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 1$, тогда

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2},$$

то есть $x = 3$ и $x = 2$ — тот же результат. Но когда коэффициенты небольшие и целые, подбор через сумму и произведение быстрее.

Главный принцип: приводим уравнение к виду «произведение = 0», а дальше каждый множитель приравниваем к нулю.