Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).

Как понять решение

Уравнение имеет вид:

\[ x^2-5x+6=0 \]

Для приведённого квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) корни связаны с коэффициентами:

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q. \]

Здесь \(p=-5,\ q=6\), поэтому:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6. \]

Ищем два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении — \(6\). Это числа \(2\) и \(3\):

\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot3=6. \]

Значит, корни:

\[ x_1=2,\quad x_2=3. \]

Второй способ: разложение на множители

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Уравнение принимает вид:

\[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]

Отсюда:

\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]

Проверка

Для \(x=2\):

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \]

Для \(x=3\):

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Оба корня подходят.

Принцип: для уравнения \(x^2+px+q=0\) удобно искать два числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\). Они и будут корнями.