Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).

Как решать через дискриминант

Уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), где:

\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \]

1. Находим дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]

2. Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]

\[ x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2} \]

3. Получаем:

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Быстрый способ по теореме Виета

Для уравнения \(x^2+px+q=0\):

\[ x_1+x_2=-p=5,\qquad x_1x_2=q=6 \]

Числа \(2\) и \(3\) дают сумму \(5\) и произведение \(6\), значит, корни — \(2\) и \(3\).

Проверка

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип: квадратное уравнение можно решать через дискриминант или через разложение на множители/теорему Виета. Здесь также верно:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, поэтому \(x=2\) или \(x=3\).