Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3\]

Как это получается

Способ 1. Разложение на множители (главная идея).

Ищем два числа, которые в сумме дают \(5\) (коэффициент при \(x\) с обратным знаком), а в произведении — \(6\) (свободный член). Это \(2\) и \(3\):

\[2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6\]

Значит, уравнение можно переписать так:

\[(x-2)(x-3)=0\]

Теперь работает ключевое правило: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.

\[x-2=0 \;\text{или}\; x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \;\text{или}\; x=3\]

Способ 2. Через дискриминант (универсальный, работает всегда).

\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1\] \[x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}\] \[x_1=\frac{6}{2}=3,\qquad x_2=\frac{4}{2}=2\]

Проверка

• \(x=2\): \(\;4-10+6=0\) ✔
• \(x=3\): \(\;9-15+6=0\) ✔

Принцип для похожих заданий

1. Если уравнение вида \(x^2+px+q=0\) и корни «угадываются» целыми — ищи два числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\) (теорема Виета). Это самый быстрый путь.
2. Если не угадываются — считай дискриминант \(D=b^2-4ac\): при \(D>0\) два корня, при \(D=0\) один, при \(D<0\) корней нет.
3. Всегда подставляй найденные корни обратно — так ты сам себя проверяешь.