Обьясни

Коротко: это темы про то, как раскладывать числа на простые множители и использовать это для поиска общих делителей, общих кратных и корней.

1. Делители и кратные

• Делитель числа \(b\) — это число \(a\), на которое \(b\) делится без остатка.
• Кратное числа \(a\) — это число, которое получается умножением \(a\) на целое число.

Пример для числа \(12\):

• делители: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\);
• кратные: \(12, 24, 36, 48, \ldots\)

Делителей у числа конечное количество, а кратных — бесконечно много.

2. Простые числа и разложение на множители

Простое число — это натуральное число, у которого ровно два делителя: \(1\) и само число.

Простые числа: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \ldots\)

Число \(1\) не является простым. Числа \(4, 6, 8, 9\) — составные.

Любое составное число можно разложить на простые множители. Например:

\[ 84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \]

\[ 90 = 2 \cdot 45 = 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \]

Запись \(2^2\) — это степень: она показывает, что множитель \(2\) повторяется два раза.

3. НОД — наибольший общий делитель

НОД — самое большое число, на которое делятся оба числа без остатка.

Берём общие простые множители с наименьшими степенями:

\[ 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \]

\[ 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \]

Общие множители: \(2\) и \(3\).

\[ \text{НОД}(84,90) = 2 \cdot 3 = 6 \]

Проверка:

\[ 84:6 = 14, \qquad 90:6 = 15 \]

У чисел \(14\) и \(15\) больше нет общих делителей, кроме \(1\), значит, \(6\) — действительно наибольший общий делитель.

4. НОК — наименьшее общее кратное

НОК — самое маленькое число, которое делится на оба данных числа.

Берём все простые множители с наибольшими степенями:

\[ \text{НОК}(84,90) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \]

\[ = 4 \cdot 9 \cdot 35 = 1260 \]

Проверка:

\[ 1260:84 = 15, \qquad 1260:90 = 14 \]

Есть полезное соотношение:

\[ \text{НОД}(a,b) \cdot \text{НОК}(a,b) = a \cdot b \]

Проверяем:

\[ 6 \cdot 1260 = 7560 \]

\[ 84 \cdot 90 = 7560 \]

Всё сходится.

5. Квадратный и кубический корень

Квадратный корень из числа \(a\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\):

\[ \sqrt{49} = 7, \quad \text{потому что } 7^2 = 49 \]

\[ \sqrt{81} = 9, \quad \text{потому что } 9^2 = 81 \]

Кубический корень из числа \(a\) — это число, куб которого равен \(a\):

\[ \sqrt[3]{27} = 3, \quad \text{потому что } 3^3 = 27 \]

\[ \sqrt[3]{-8} = -2, \quad \text{потому что } (-2)^3 = -8 \]

Квадратный корень из отрицательного числа в 7 классе не рассматривается, а кубический корень из отрицательного числа существует.

Как решать похожие задания

1. Разложи числа на простые множители.
2. Для НОД возьми общие множители с меньшими степенями.
3. Для НОК возьми все множители с большими степенями.
4. Проверь результат: \(\text{НОД} \cdot \text{НОК} = a \cdot b\).
5. Для корня проверяй ответ обратным действием: возведением в квадрат или куб.