Реши задание на изображении

102

Кратко: треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам.

Пусть \(O\) — точка пересечения \(AC\) и \(BD\). По условию
\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]

1. Рассмотрим \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\): \[ AO=OC,\quad BO=OD,\quad \angle AOB=\angle COD \] как вертикальные. Значит, \[ \triangle AOB\cong \triangle COD \] по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \[ AB=CD. \]

2. Аналогично \(\triangle BOC\cong \triangle DOA\): \[ BO=OD,\quad OC=OA,\quad \angle BOC=\angle DOA, \] поэтому \[ BC=DA. \]

3. Теперь в треугольниках \(ABC\) и \(CDA\): \[ AB=CD,\qquad BC=DA,\qquad AC=CA \text{ — общая}. \] Значит, \[ \triangle ABC\cong \triangle CDA \] по трём сторонам. Ч. т. д.

104

Кратко: докажем равенство треугольников \(BCD\) и \(EDC\), тогда соответствующие углы \(CBD\) и \(DEC\) будут равны.

1. Так как точка \(B\) лежит на отрезке \(AC\), а \(E\) — на \(AD\), то \[ BC=AC-AB,\qquad DE=AD-AE. \] По условию \(AC=AD\) и \(AB=AE\), поэтому \[ BC=DE. \]

2. В треугольнике \(ACD\): \[ AC=AD, \] значит, он равнобедренный, и углы при основании равны: \[ \angle ACD=\angle CDA. \] Но \(B\) лежит на \(AC\), а \(E\) — на \(AD\), поэтому \[ \angle BCD=\angle ACD,\qquad \angle EDC=\angle CDA. \] Следовательно, \[ \angle BCD=\angle EDC. \]

3. Рассмотрим треугольники \(BCD\) и \(EDC\): \[ BC=DE,\qquad CD=DC,\qquad \angle BCD=\angle EDC. \] Значит, \[ \triangle BCD\cong \triangle EDC \] по двум сторонам и углу между ними.

4. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. При соответствии \[ B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow D,\quad D\leftrightarrow C \] угол \(\angle CBD\) соответствует углу \(\angle DEC\). Поэтому \[ \angle CBD=\angle DEC. \]

Ч. т. д.